Олимпиадные задачи из источника «параграф 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек» для 6-11 класса - сложность 1-4 с решениями

Докажите, что если прямая Эйлера проходит через центр вписанной окружности треугольника, то треугольник равнобедренный.

Докажите, что отрезок, высекаемый на стороне <i>AB</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>окружностью девяти точек, виден из ее центра под углом 2|$\angle$<i>A</i>-$\angle$<i>B</i>|.

Докажите, что прямая Эйлера треугольника <i>ABC</i>параллельна стороне <i>BC</i>тогда и только тогда, когда <i>tgBtgC</i>= 3.

а) Докажите, что описанная окружность треугольника <i>ABC</i>является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>. б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.

Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках?

Высоты треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>H</i>. а) Докажите, что треугольники<i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>имеют общую окружность девяти точек. б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>пересекаются в одной точке. в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику <i>HABC</i>.

Докажите, что в любом треугольнике точка <i>H</i> пересечения высот (ортоцентр), центр <i>O</i> описанной окружности и точка <i>M</i> пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка <i>M</i> расположена между точками <i>O</i> и <i>H</i>, и <i>MH</i> = 2<i>MO</i>.

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.