Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Треугольники с углами 60 и 120 градусов» - сложность 3-4 с решениями

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>с углом <i>A</i>, равным 60^<tt>o</tt>, высоты пересекаются в точке <i>H</i>. а) Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам <i>BH</i>и <i>CH</i>со сторонами <i>AB</i>и <i>AC</i>соответственно. Докажите, что точки <i>M</i>,<i>N</i>и <i>H</i>лежат на одной прямой. б) Докажите, что на той же прямой лежит центр <i>O</i>описанной окружности.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>A</i>равен 120^<tt>o</tt>. Докажите, что из отрезков длиной <i>a</i>,<i>b</i>,<i>b</i>+<i>c</i>можно составить треугольник.

а) Докажите, что если угол <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>равен 120^<tt>o</tt>, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла <i>A</i>. б) В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>A</i>равен 60^<tt>o</tt>; <i>O</i> — центр описанной окружности, <i>H</i> — ортоцентр, <i>I</i> — центр вписанной окружности, а <i>I</i>_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>. Докажите, что <i>IO</i>=<i>IH</i>и <i>I</i>_a<i>O</i>=<i>I</i>_a&...