Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Разные задачи» для 8-9 класса - сложность 1-2 с решениями
параграф 6. Разные задачи
НазадНа сторонах правильного треугольника <i>ABC</i> как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники <i>A</i><sub>1</sub><i>BC, AB</i><sub>1</sub><i>C</i> и <i>ABC</i><sub>1</sub> с углами α, β и γ при основаниях, причём α + β + γ = 60°. Прямые <i>BC</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i> пересекаются в точке <i>A</i><sub>2</sub>, <i>AC</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i> – в точке <i>B</i><sub>2</sub>, <i>AB</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1<...
В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>AB</i> больше стороны <i>BC</i>. Пусть <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> – середины сторон <i>BC</i> и <i>AC</i>, а <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> – точки касания вписанной окружности со сторонами <i>AC</i> и <i>AB</i>. Докажите, что отрезки <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub> пересекаются в точке <i>X</i>, лежащей на биссектрисе угла <i>B</i>.
а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть <i>H</i> – точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, <i>R</i> – радиус описанной окружности. Докажите, что <i>AH</i>² + <i>BC</i>² = 4<i>R</i>² и <i>AH = BC</i> |ctg α|.
Через точку <i>O</i> пересечения биссектрис треугольника <i>ABC</i> проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная <i>AB</i>, пересекает <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>, а прямые, параллельные <i>AC</i> и <i>BC</i>, пересекают <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что <i>MN = AM + BN</i> и периметр треугольника <i>OPQ</i> равен длине отрезка <i>AB</i>.
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята произвольная точка <i>O</i> и построены точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>, симметричные <i>O</i> относительно середин сторон <i>BC, CA</i> и <i>AB</i>. Докажите, что треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> равны и прямые <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в одной точке.
Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.