Олимпиадные задачи из источника «Задачи для самостоятельного решения» для 2-9 класса - сложность 1-3 с решениями

Углы треугольника <i>ABC</i> удовлетворяют соотношению  sin²<i>A</i> + sin²<i>B</i> + sin²<i>C</i> = 1.

Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что если  ∠<i>A</i> = 45°,  то <i>B</i>₁<i>C</i>₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника <i>ABC</i>.

Через центр <i>O</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая прямые <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁.

Докажите, что одно из чисел ¹/_<i>OA</i>₁, ¹/_<i>OB</i>₁ и ¹/_<i>OC</i>₁ равно сумме двух других.

Треугольник, составленный:  а) из медиан;  б) из высот треугольника <i>ABC</i>, подобен треугольнику <i>ABC</i>.

Каким соотношением связаны длины сторон треугольника <i>ABC</i>?

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>AD</i>. Пусть <i>O, O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABC, ABD</i> и <i>ACD</i>.

Докажите, что <i>OO</i>₁ = <i>OO</i>₂.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂. Докажите, что середина стороны <i>BC</i> равноудалена от прямых <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>B</i>₂<i>C</i>₂.

Вписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i> касается гипотенузы <i>AB</i> в точке <i>P, CH</i> – высота треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ACH</i> лежит на перпендикуляре, опущенном из точки <i>P</i> на <i>AC</i>.