Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» для 10 класса - сложность 3-4 с решениями

Высоты треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>H</i>. а) Докажите, что треугольники<i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>имеют общую окружность девяти точек. б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>пересекаются в одной точке. в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику <i>HABC</i>.

Точка <i>P</i>движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что при этом прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой <i>P</i>.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой, точка <i>P</i> — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>,<i>ACP</i>и точка <i>P</i>лежат на одной окружности.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$^.$\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$^.$\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ACC_1}{\sin C_1CB}}$^.$\displaystyle {\frac{\sin BAA_1}{\sin A_1AC}}$^.$\displaystyle {\frac{\sin CBB_1}{\sin B_1BA}}$. </div>

Дан треугольник <i>ABC</i>. На прямых <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>взяты точки <i>C</i>₁,<i>A</i>₁и <i>B</i>₁, причем <i>k</i>из них лежат на сторонах треугольника и 3 -<i>k</i> — на продолжениях сторон. Пусть<div align="CENTER"> <i>R</i> = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$^.$\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$^.$\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$. </div> Докажите, что: а) точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на одной прямой...

Окружность <i>S</i> касается окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ в точках <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂.

Докажите, что прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂.

Окружность <i>S</i>₁ вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>. Из вершины <i>C</i> к ней проведена касательная (отличная от <i>CA</i>), и в образовавшийся треугольник с вершиной <i>B</i> вписана окружность <i>S</i>₂. Из вершины <i>A</i> к <i>S</i>₂ проведена касательная, и в образовавшийся треугольник с вершиной <i>C</i> вписана окружность <i>S</i>₃

и т. д. Докажите, что окружность <i>S</i>₇ совпадает с <i>S</i>₁.

Окружность <i>S</i>₁ вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>; окружность <i>S</i>₂ вписана в угол <i>B</i> и касается <i>S</i>₁ (внешним образом); окружность <i>S</i>₃ вписана в угол <i>C</i> и касается <i>S</i>₂; окружность <i>S</i>₄ вписана в угол <i>A</i> и касается <i>S</i>₃ и т. д. Докажите, что окружность <i>S</i>₇ совпадает с <i>S</i>₁.

В треугольнике<i>ABC</i>проведены триссектрисы (лучи, делящие углы на три равные части). Ближайшие к стороне<i>BC</i>триссектрисы углов<i>B</i>и<i>C</i>пересекаются в точке<i>A</i>₁; аналогично определим точки<i>B</i>₁и<i>C</i>₁(см. рис.). Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁равносторонний.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56893/problem_56893_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.