Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся

  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ³/₂₀;

  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше &frac15;;

  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше ¹/₂₀.

Вершины<i>A</i>и<i>B</i>треугольника<i>ABC</i>скользят по сторонам прямого угла. Докажите, что если угол<i>C</i>не прямой, то вершина<i>C</i>перемещается при этом по эллипсу.

Докажите, что если вершины шестиугольника<i>ABCDEF</i>лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых<i>AB</i>и<i>DE</i>,<i>BC</i>и<i>EF</i>,<i>CD</i>и<i>AF</i>) лежат на одной прямой (Паскаль).

Докажите, что все вписанные в эллипс ромбы описаны вокруг одной окружности.

На плоскости дана окружность. Докажите, что при помощи одной линейки нельзя построить ее центр.

Докажите, что при помощи одной линейки нельзя разделить данный отрезок пополам.

а) Дана некоторая окружность. При помощи одной линейки постройте<i>n</i>-угольник, стороны которого проходят через данные <i>n</i>точек, а вершины лежат на <i>n</i>данных прямых. б) При помощи одной линейки впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, стороны которого проходят через данные <i>n</i>точек. в) При помощи циркуля и линейки впишите в данную окружность многоугольник, у которого некоторые стороны проходят через данные точки, некоторые другие параллельны данным прямым, а остальные имеют данные длины (о каждой стороне имеется информация одного из трех перечисленных типов).

а) Даны прямая <i>l</i>и точка <i>P</i>вне ее. Циркулем и линейкой постройте на <i>l</i>отрезок<i>XY</i>данной длины, который виден из <i>P</i>под данным углом $\alpha$. б) Даны две прямые <i>l</i>₁и <i>l</i>₂и точки <i>P</i>и <i>Q</i>, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой <i>l</i>₁точку <i>X</i>и на прямой <i>l</i>₂точку <i>Y</i>так, что отрезок<i>XY</i>виден из точки <i>P</i>под данным углом $\alpha$, а из точки <i>Q</i> — под данным углом $\beta$.

Даны окружность <i>S</i>и две хорды<i>AB</i>и <i>CD</i>. Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку <i>X</i>, чтобы прямые<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на<i>CD</i>отрезок а) имеющий данную длину <i>a</i>; б) делящийся пополам в данной точке <i>E</i>хорды<i>CD</i>.

Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки.

Точки <i>A</i>и <i>B</i>лежат на прямых <i>a</i>и <i>b</i>соответственно, а точка <i>P</i>не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через <i>P</i>прямую, пересекающую прямые <i>a</i>и <i>b</i>в точках <i>X</i>и <i>Y</i>соответственно таких, что длины отрезков<i>AX</i>и <i>BY</i>имеют а) данное отношение; б) данное произведение.

Даны две прямые <i>l</i>₁и <i>l</i>₂и две точки <i>A</i>и <i>B</i>, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой <i>l</i>₁такую точку <i>X</i>, чтобы прямые<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на прямой <i>l</i>₂отрезок, а) имеющий данную длину <i>a</i>; б) делящийся пополам в данной точке <i>E</i>прямой <i>l</i>₂.

Даны окружность, прямая и точки <i>A</i>,<i>A'</i>,<i>B</i>,<i>B'</i>,<i>C</i>,<i>C'</i>,<i>M</i>, лежащие на этой прямой. Согласно задачам <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158409">30.1</a>и <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158411">30.3</a>существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>соответственно в <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>. Обозначим это преобразование через <i>P</i>. Постройте при помощи одной линейки а) точку<i>P</i>(<i>M</i>); б) неподвижные...

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>,<i>F</i>лежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>DE</i>,<i>BC</i>и <i>EF</i>,<i>CD</i>и <i>FA</i>лежат на одной прямой (Паскаль).

Используя проективные преобразования прямой, решите задачу о бабочке (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158452">30.44</a>).

Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему Паппа (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158435">30.27</a>).

Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему о полном четырехстороннике (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158441">30.34</a>).

На стороне<i>AB</i>четырехугольника<i>ABCD</i>взята точка <i>M</i>₁. Пусть <i>M</i>₂ — проекция <i>M</i>₁на прямую<i>BC</i>из <i>D</i>,<i>M</i>₃ — проекция <i>M</i>₂на<i>CD</i>из <i>A</i>,<i>M</i>₄ — проекция <i>M</i>₃на<i>DA</i>из <i>B</i>,<i>M</i>₅ — проекция <i>M</i>₄на<i>AB</i>из <i>C</i>и т. д. Докажите, что<i>M</i>₁₃=<i...

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности,<i>SA</i>и <i>SD</i> — касательные к этой окружности,<i>P</i>и <i>Q</i> — точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AC</i>и <i>BD</i>соответственно. Докажите, что точки <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>S</i>лежат на одной прямой.

В окружность <i>S</i> вписан шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i> и <i>DE, BC</i> и <i>EF, CD</i> и <i>FA</i> лежат на одной прямой.

Пусть<i>ABCDEF</i> — описанный шестиугольник. Докажите, что его диагонали<i>AD</i>,<i>BE</i>и <i>CF</i>пересекаются в одной точке (Брианшон).