Олимпиадные задачи из источника «1954 год» - сложность 2-5 с решениями

Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при помощи двоек и единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел каждого класса получалось число, в написании которого содержится не менее двух троек.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Сколько плоскостей симметрии может иметь треугольная пирамида?

Дан отрезок <i>OA</i>. Из конца отрезка <i>A</i> выходит 5 отрезков <i>AB</i>₁, <i>AB</i>₂, <i>AB</i>₃, <i>AB</i>₄, <i>AB</i>₅. Из каждой точки <i>B</i>_i могут выходить ещё пять новых отрезков или ни одного нового отрезка и т.д. Может ли число свободных концов построенных отрезков равняться 1001? Под свободным концом отрезка понимаем точку, принадлежащую только одному отрезку (кроме точки <i>O</i>).

Если дан ряд из 15 чисел<div align="CENTER"> <i>a</i>₁, <i>a</i>₂,..., <i>a</i>₁₅, (1) </div>то можно написать второй ряд<div align="CENTER"> <i>b</i>₁, <i>b</i>₂,..., <i>b</i>₁₅, (2) </div>где<i>b</i>_i(<i>i</i>= 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших<i>a</i>_i. Существует ли ряд чисел<i>a</i>_i, если дан ряд чисел<i>b</i>_i:<div align="CENTER"> 1, 0, 3, 6, 9, 4, 7...

Сто положительных чисел <i>C</i>₁, <i>C</i>₂, ..., <i>C</i>₁₀₀ удовлетворяют условиям   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78018/problem_78018_img_2.gif">

Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

Даны четыре прямые<i>m</i>₁,<i>m</i>₂,<i>m</i>₃,<i>m</i>₄, пересекающиеся в одной точке<i>O</i>. Через произвольную точку<i>A</i>₁прямой<i>m</i>₁проводим прямую, параллельную прямой<i>m</i>₄, до пересечения с прямой<i>m</i>₂в точке<i>A</i>₂, через<i>A</i>₂проводим прямую, параллельную<i>m</i>₁, до пересечения с<i>m</i>₃в точке<i>A</i><sub>3</sub...

На двух лучах<i>l</i>₁и<i>l</i>₂, исходящих из точки<i>O</i>, отложены отрезки<i>OA</i>₁и<i>OB</i>₁на луче<i>l</i>₁и<i>OA</i>₂и<i>OB</i>₂на луче<i>l</i>₂; при этом${\frac{OA_1}{OA_2}}$$\ne$${\frac{OB_1}{OB_2}}$.

Определить геометрическое место точек<i>S</i>пересечения прямых<i>A</i>₁<i>A</i>₂и<i>B</i>₁<i>B</i>₂при вращении луча<i>l</i><su...

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

Дано число  <i>H</i> = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37  (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., <i>H</i> – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.

Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках <i>A, B, C, D</i>, что  <i>AB = CD,  AD = BC</i>  и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в <i>A</i> и <i>C</i>, равна сумме чисел в клетках с центрами <i>B</i> и <i>D</i>.

Решить систему:     10<i>x</i>₁ + 3<i>x</i>₂ + 4<i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ = 0,     11<i>x</i>₂ + 2<i>x</i>₃ + 2<i>x</i>₄ + 3<i>x</i>₅ + <i>x</i>₆ = 0,     15<i>x</i>₃ + 4<i>x</i>₄ + 5<i>x</i>₅ + 4<i>x</i>₆ + <i>x</i>₇ = 0,     2<i>x</i><sub>1&...

План города представляет собой плоскость, разбитую на одинаковые правильные треугольники. Стороны треугольников – шоссейные дороги, а вершины треугольников – перекрестки. Из точек <i>A</i> и <i>B</i>, расположенных на одной дороге (стороне треугольника), одновременно в одном направлении с одинаковыми скоростями выезжают две машины. Доехав до любого перекрёстка, каждая машина может или продолжить свое движение в том же направлении, или же повернуть на 120° вправо или влево. Могут ли машины встретиться?

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 4<i>a</i>₂ + 3<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 4<i>a</i>₃ + 3<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 4<i>a</i>₄ + 3<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 4<i>a</i>₁₀₀ +...

Найти все действительные решения уравнения  <i>x</i>² + 2<i>x</i> sin(<i>xy</i>) + 1 = 0.

Существуют ли в пространстве четыре точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>такие, что<i>AB</i>=<i>CD</i>= 8 см,<i>AC</i>=<i>BD</i>= 10 см,<i>AD</i>=<i>BC</i>= 13 см?

Дан треугольник<i>ABC</i>. Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁— точки пересечения прямых<i>AS</i>,<i>BS</i>,<i>CS</i>соответственно со сторонами<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника, где<i>S</i>— произвольная внутренняя точка треугольника<i>ABC</i>. Доказать, что, по крайней мере, в одном из полученных четырёхугольников<i>AB</i>₁<i>SC</i>₁,<i>C</i>₁<i>SA</i>₁<i>B</i>,<i>A</i>₁<i>SB</i&...

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 3<i>a</i>₂ + 2<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + 2<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 3<i>a</i>₄ + 2<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 3<i>a</i>₁₀₀ +...

Дано число123456789101112131415...99100. Вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

Доказать, что если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78003/problem_78003_img_2.gif">   то  <i>x</i>⁴ + <i>a</i>₁<i>x</i>³ + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x + a</i>₄  делится на  (<i>x – x</i>₀)².

Найти все решения системы уравнений   <i>x</i>(1 – 2^–<i>n</i>) + <i>y</i>(1 – 2^{–<i>n</i>–1}) + <i>z</i>(1 – 2^{–<i>n</i>–2}) = 0,   где  <i>n</i> = 1, 2, 3, 4, ...

Из произвольной внутренней точки<i>O</i>выпуклого<i>n</i>-угольника опущены перпендикуляры на стороны (или их продолжения). На каждом перпендикуляре от точки<i>O</i>по направлению к стороне построен вектор, длина которого равна половине длины той стороны, на которую опущен перпендикуляр. Определить сумму построенных векторов.

Из квадрата размером 3 на 3 вырезать одну фигуру, которая представляет развёртку полной поверхности куба, длина ребра которого равна 1.

Определить наибольшее значение отношения трёхзначного числа к числу, равному сумме цифр этого числа.

Существуют ли целые числа <i>m</i> и <i>n</i>, удовлетворяющие уравнению  <i>m</i>² + 1954 = <i>n</i>²?