Олимпиадные задачи из источника «1959 год» для 10 класса - сложность 2-4 с решениями

Два концентрических круга поделены на 2<i>k</i>равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.

Даны<i>n</i>комплексных чисел<i>C</i>₁,<i>C</i>₂,...,<i>C</i>_n, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого<i>n</i>-угольника. Доказать, что если комплексное число<i>z</i>обладает тем свойством, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0, </div>то точка плоскости, соответствующая<i>z</i>, лежит внутри этого<i>n</i>-угольника.

Даны несколько перекрывающихся кругов, занимающие на плоскости площадь, равную

1. Доказать, что из них можно выбрать некоторое количество попарно неперекрывающихся, чтобы их общая площадь была не менее${\frac{1}{9}}$.

В углах шахматной доски 3 на 3 стоят кони: в верхних углах — белые, в нижних — чёрные. Доказать, что для того, чтобы им поменяться местами, потребуется не менее 16 ходов. (Кони не обязательно ходят сначала белый, потом чёрный. Ходом считается ход одного коня.)

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Доказать, что не более одной вершины тетраэдра обладает тем свойством, что сумма любых двух плоских углов при этой вершине больше180^<tt>o</tt>.

<i>n</i>отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2<i>n</i>-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2<i>n</i>-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.

Даны сто чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂,..., <i>x</i>₁₀₀, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей  <i>x</i>_<i>k</i>+1 – <i>x_k</i>  меньше ¹/₅₀ каждая.

Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.

Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.

Даны два пересекающихся отрезка длины 1,<i>AB</i>и<i>CD</i>. Доказать, что по крайней мере одна из сторон четырёхугольника<i>ABCD</i>не меньше${\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Дан треугольник<i>ABC</i>. Построим треугольник, стороны которого касаются вневписанных окружностей этого треугольника. Зная углы исходного треугольника, найти углы построенного.

Дана невозрастающая последовательность чисел   ¹/_2<i>k</i> = <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i> ≥ ... > 0,  <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + ... + <i>a_n</i> + ... = 1.

Доказать, что найдутся <i>k</i> чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.

В квадратную таблицу <i>N×N</i> записаны все целые числа по следующему закону: 1 стоит на любом месте, 2 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 1, 3 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 2, и так далее. На сколько сумма чисел в столбце, содержащем <i>N</i>², отличается от суммы чисел в строке, содержащей 1.

Доказать, что не существует таких натуральных чисел <i>x, y, z, k</i>, что  <i>x^k + y^k = z^k</i>  при условии  <i>x < k,  y < k</i>.

Доказать, что не существует тетраэдра, в котором каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла.

Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть <i>P_k</i> – число всех непересекающихся ломаных длины <i>k</i>, начинающихся в точке <i>O</i> – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что  <i>P_k</i>·3^–<i>k</i> < 2  для любого <i>k</i>.

Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.

Имеется 1959 положительных чисел<i>a</i>₁,<i>a</i>₂...,<i>a</i>₁₉₅₉, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.

Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках<i>O</i>₁и<i>O</i>₂. Пусть<i>a</i>₁и<i>a</i>₂— внутренние касательные к этим окружностям,<i>a</i>₃и<i>a</i>₄— внешние касательные к ним. Пусть, далее,<i>a</i>₅и<i>a</i>₆— касательные к окружности с центром в<i>O</i>₁, проведённые из точки<i>O</i>₂,<i>a</i>₇и<i>a</i>₈— касательные к окружности с центром в точке<i>O&lt...

Дан квадрат со стороной 1. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до сторон этого квадрата или их продолжений равна 4.

Можно ли расположить все трёхзначные числа, не оканчивающиеся нулями, в последовательности так, чтобы последняя цифра каждого числа была равна первой цифре следующего за ним?