Олимпиадные задачи из источника «2011 год» - сложность 2 с решениями

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>O</i>, что  ∠<i>ABO</i> = ∠<i>CAO</i>,  ∠<i>BAO</i> = ∠<i>BCO</i>,  ∠<i>BOC</i> = 90°.  Найдите отношение  <i>AC</i> : <i>OC</i>.

Верно ли, что любые 100 карточек, на которых написано по одной цифре 1, 2 или 3, встречающейся не более чем по 50 раз каждая, можно разложить в один ряд так, чтобы в нём не было фрагментов 11, 22, 33, 123 и 321?

Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции <i>y</i> = sin <i>x</i>. Может ли та же кривая являться графиком функции <i>y</i> = sin ²<i>x</i> в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> на основании <i>BC</i> взята точка <i>D</i>, а на боковой стороне <i>AB</i> – точки <i>E</i> и <i>M</i> так, что  <i>AM = ME</i>  и отрезок <i>DM</i> параллелен стороне <i>AC</i>. Докажите, что  <i>AD + DE > AB + BE</i>.

Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов  <i>x</i>²⁰¹¹ + 2011<i>x</i> – 1  и  <i>x</i>²⁰¹¹ – 2011<i>x</i> + 1.

У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины 1 метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих — сможет?

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Известно, что центр описанной окружности треугольника <i>BB</i>₁<i>C</i>₁ лежит на прямой <i>AC</i>. Найдите угол <i>C</i> треугольника.

Доска 2010×2011 покрыта доминошками 2×1; некоторые из них лежат горизонтально, некоторые – вертикально.

Докажите, что граница горизонтальных доминошек с вертикальными имеет чётную длину.

В трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> лучи <i>AB</i> и <i>DC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABD</i> и <i>BCD</i>. Докажите, что  ∠<i>PKA</i> = ∠<i>QKD</i>.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> угол <i>A</i> равен 30°, точка <i>I</i> – центр вписанной окружности <i>ABC, D</i> – точка пересечения отрезка <i>BI</i> с этой окружностью. Докажите, что отрезки <i>AI</i> и <i>CD</i> перпендикулярны.

В турнире каждый участник встретился с каждым из остальных один раз. Каждую встречу судил один арбитр, и все арбитры судили разное количество встреч. Игрок Иванов утверждает, что все его встречи судили разные арбитры. То же самое утверждают о себе игроки Петров и Сидоров. Может ли быть, что никто из них не ошибается?

Что больше:  2011²⁰¹¹ + 2009²⁰⁰⁹  или  2011²⁰⁰⁹ + 2009²⁰¹¹?

Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины боковых сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>M</i> на диагональ <i>AC</i>, и перпендикуляр, опущенный из точки <i>N</i> на диагональ <i>BD</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что  <i>PA = PD</i>.

Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?

Пётр родился в XIX веке, а его брат Павел – в XX веке. Однажды братья встретились на праздновании своего общего дня рождения. Пётр сказал: "Мой возраст равен сумме цифр года моего рождения". – "Мой тоже", – ответил Павел. На сколько лет Павел младше Петра?