Олимпиадные задачи из источника «9 класс»

Можно ли расставить натуральные числа от 1 до 10 в ряд так, чтобы каждое число было делителем суммы всех предыдущих?

На сторонах <i>АВ</i> и <i>АС </i>равнобедренного треугольника <i>АВС</i>  (<i>АВ = АС</i>)  соответственно отмечены точки <i>М</i>и <i>N</i> так, что  <i>АN > AM</i>.  Прямые <i>MN</i> и <i>ВС</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Сравните длины отрезков <i>MK</i> и <i>MB</i>.

Существует ли квадратный трёхчлен, который при  <i>x</i> = 2014, 2015, 2016  принимает значения 2015, 0, 2015 соответственно?

Василиса Премудрая расставляет все натуральные числа от 1 до <i>n</i>², где  <i>n</i> > 1,  в клетки таблицы размером <i>n</i>×<i>n</i>. Кандидат в женихи должен вычеркнуть строку и столбец так, чтобы сумма всех оставшихся чисел была чётной. Всегда ли выполнимо такое задание?

Вписанная окружность прямоугольного треугольника <i>АВС</i> (угол <i>С</i> – прямой) касается сторон <i>АВ, ВС</i> и <i>СА</i> в точках <i>С</i>₁, <i>А</i>₁, <i>В</i>₁ соответственно. Высоты треугольника <i>А</i>₁<i>В</i>₁<i>С</i>₁ пересекаются в точке <i>D</i>. Найдите расстояние между точками <i>C</i> и <i>D</i>, если длины катетов треугольника <i>АВС</i> равны 3 и 4.

Сумма неотрицательных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₀ равна 1. Найдите наибольшее возможное значение суммы  <i>x</i>₁<i>x</i>₂ + <i>x</i>₂<i>x</i>₃ + ... + <i>x</i>₉<i>x</i>₁₀.

Каких натуральных чисел от 1 до 1000000 (включительно) больше: чётных с нечётной суммой цифр или нечётных с чётной суммой цифр?

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>Р</i> так, что  ∠<i>АРВ</i> + ∠<i>СРD</i> = 180°.  Докажите, что  ∠<i>РВC</i> = ∠<i>РDC</i>.

Сумма трёх различных чисел равна 10, а разность между наибольшим и наименьшим равна 3.

Какие значения может принимать число, среднее по величине?

На доске записаны числа 20 и 100. Разрешается дописать на доску произведение любых двух имеющихся на ней чисел. Можно ли такими операциями когда-нибудь получить на доске число 50...0 (2015 нулей)?

На сторонах <i>АВ, ВС</i> и <i>СА</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> выбраны точки <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно так, что  <i>DE || АC,  DF || BС</i>.

Найдите угол между прямыми <i>AЕ</i> и <i>BF</i>.

Решите систему уравнений:

  ¹/<i>_x = y + z</i>,

  ¹/<i>_y = z + x</i>,

  ¹/<i>_z = x + y</i>.

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой на две части. Затем одну часть снова разрезал по прямой на две. Потом одну из получившихся частей опять разрезал на две части, и так далее, всего он резал бумагу сто раз. Потом Петя подсчитал суммарное количество вершин у всех получившихся многоугольников – получилось всего 302 вершины. Могло ли так быть?

Существует ли выпуклый четырёхугольник, каждая диагональ которого делит его на два остроугольных треугольника?

На рисунке изображен график функции  <i>y</i> = (<i>a</i>² – 1)(<i>x</i>² – 1) + (<i>a</i> – 1)(<i>x</i> – 1). Найдите координаты точки <i>А</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65169/problem_65169_img_2.png"></div>