Олимпиадные задачи из источника «2015/2016» для 1-7 класса
Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)
В десятичной записи числа – 36 цифр. Разрешается разбить его на группы по 6 цифр в каждой и как-нибудь переставить эти группы. Известно, что число, полученное при одной из перестановок, в 7 раз больше числа, полученного при другой перестановке. Докажите, что большее из этих чисел делится на 49.
Восемь одинаковых шаров положили в коробку так, как показано на рисунке. Докажите, что центры трёх верхних шаров лежат на одной прямой.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65663/problem_65663_img_2.png"></div>
Шагреневая кожа исполняет желания, но после каждого желания её площадь уменьшается: либо на 1 дм² в обычном случае, либо в два раза – если желание было заветное. Десять желаний уменьшили площадь кожи втрое, следующие несколько – еще всемеро, а еще через несколько желаний кожа вообще пропала. Какова первоначальная площадь кожи?
На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них сделал по два заявления: 1) "Среди моих друзей – нечётное количество рыцарей"; 2) "Среди моих друзей – чётное количество лжецов". Чётно или нечётно количество жителей острова?
Про треугольник, один из углов которого равен 120°, известно, что его можно разрезать на два равнобедренных треугольника.
Чему могут быть равны два других угла исходного треугольника?
На середине дороги от Васиного дома до школы стоит светофор. В понедельник Вася попал на зелёный сигнал светофора. Во вторник он шёл с той же скоростью, но простоял на светофоре 5 минут, а после этого увеличил скорость вдвое. И в понедельник, и во вторник он потратил на путь от дома до школы одинаковое время. Какое?
В некотором классе при любой раздаче 200 конфет найдутся хотя бы двое школьников, получившие одинаковое количество конфет (возможно, и ни одной). Каково наименьшее количество учеников в таком классе?
На стороне <i>ВС</i> треугольника <i>АВС</i> отмечена точка <i>E</i>, а на биссектрисе <i>BD</i> – точка <i>F</i> таким образом, что <i>EF || AC</i> и <i>AF = AD</i>. Докажите, что <i>AВ = ВЕ</i>.
Решите уравнение 1 + 1 : (1 + 1 : (1 + 1 : (<i>x</i> + 2016))) = (1,2)².
Может ли разность четвёртых степеней простых чисел быть простым числом?
Существует ли такой четырёхугольник, что любая диагональ делит его на два тупоугольных треугольника?
Сумма вычитаемого, уменьшаемого и разности равна 2016. Найдите уменьшаемое.
Квадрат со стороной 9 клеток разрезали по линиям сетки на 14 прямоугольников таким образом, что длина каждой стороны любого прямоугольника не меньше, чем две клетки. Могло ли оказаться так, что среди этих прямоугольников не было ни одного квадрата?
Напомним, что игра в "морской бой" начинается с того, что на доске размером 10×10 клеток расставляют один "корабль" из четырёх клеток, два – из трёх клеток, три – из двух, и четыре одноклеточных (такие, как на рисунке). По правилам "корабли" не должны касаться, даже углами. До какого наименьшего размера можно уменьшить квадратное поле для игры, сохранив это правило? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65595/problem_65595_img_2.png"></div>
На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>E</i> и <i>F</i> соответственно так, что <i>AE</i> = 2<i>BF</i>. На луче <i>EF</i> отмечена точка <i>G</i> так, что <i>GF = EF</i>. Докажите, что угол <i>ACG</i> – прямой.
Известно, что <i>а</i> > 1. Обязательно ли имеет место равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_2.gif"> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_3.gif">?
Сколько существует несократимых дробей с числителем 2015, меньших чем <sup>1</sup>/<sub>2015</sub> и больших чем <sup>1</sup>/<sub>2016</sub>?
Внутри ромба <i>АВСD</i> выбрана точка <i>N</i> так, что треугольник <i>ВСN</i> – равносторонний. Биссектриса <i>BL</i> треугольника <i>ABN</i> пересекает диагональ <i>АС</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что точки <i>K</i>, <i>N</i> и <i>D</i> лежат на одной прямой.
Петя записал несколько алгебраических выражений, возвёл каждое из них в квадрат и сложил результаты.
Могло ли у него в итоге получиться выражение <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + 3<i>y</i> + 4<i>x + xz</i> + 1?
Можно ли из кубиков размером 1×1×1 склеить многогранник, площадь поверхности которого равна 2015? (Кубики приклеиваются так, что склеиваемые грани полностью примыкают друг к другу.)
Высота <i>АН</i> треугольника <i>АВС</i> равна его медиане <i>ВМ</i>. На продолжении стороны <i>АВ</i> за точку <i>В</i> отложена точка <i>D</i> так, что <i>BD</i> = <i>AB</i>. Найдите угол <i>BCD</i>.
На перемене несколько учащихся ушли из лицея и несколько пришли в него. В результате количество учеников в лицее после перемены уменьшилось на 10%, а доля мальчиков среди учеников лицея увеличилась с 50% до 55%. Увеличилось или уменьшилось количество мальчиков?
Найдите наименьшее натуральное <i>n</i>, для которого (<i>n</i> + 1)(<i>n</i> + 2)(<i>n</i> + 3)(<i>n</i> + 4) делится на 1000.
На свой день рождения Василиса купила треугольный пирог, который она разрезала по каждой биссектрисе и получилось 6 кусков. Опоздавшему Игорю достался кусок в форме прямоугольного треугольника, на основании чего он заявил, что пирог имел форму равнобедренного треугольника. Прав ли Игорь?