Олимпиадные задачи из источника «2016/2017» для 1-8 класса

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?

Трапеция с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> описана вокруг окружности, <i>E</i> – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол <i>AED</i> не может быть острым.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали <i>АС</i> и <i>BD</i> равны, а серединный перпендикуляр к стороне <i>ВС</i> проходит через середину стороны <i>AD</i>.

Могут ли длины всех сторон четырёхугольника быть различными?

Бригада из нескольких рабочих за 7 полных дней может выполнить такое же задание, какое может выполнить эта же бригада без двух человек за несколько полных дней, и такое же, как без шести человек за несколько полных дней. Сколько рабочих в бригаде? (Производительность рабочих одинаковая.)

Зубной врач запретил Соне съедать больше <i>десяти</i> карамелек в день, причём, если в какой-то день она съедает больше <i>семи</i> карамелек, то в следующие два дня ей нельзя съедать более <i>пяти</i> карамелек за день. Какое наибольшее количество карамелек Соня сможет съесть за 25 дней, следуя указаниям зубного врача?

Внутри квадрата отмечена произвольная точка <i>М</i>. Можно ли этот квадрат разрезать не более чем на три прямоугольника, и сложить из них квадрат так, чтобы точка <i>М</i> стала его центром? (Разрезы не должны проходить через точку <i>М</i>.)

В ряд стоят 33 девочки и каждая держит по ромашке. Одновременно каждая из девочек передаёт свою ромашку девочке, стоящей от неё через одну.

Может ли оказаться так, что у каждой девочки будет опять по одной ромашке?

На стороне <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечена точка <i>D</i>. Точка <i>Е</i> такова, что треугольник <i>BDE</i> – также равносторонний.

Докажите, что  <i>CE = AD</i>.

Существуют ли 11 последовательных натуральных чисел, сумма которых равна точному кубу?

Простым или составным является число  100² + 201?

Сумма двух сторон прямоугольника равна 7 см, а сумма трёх его сторон равна 9,5 см. Найдите периметр прямоугольника.

Телёнок весит столько же, сколько козлёнок вместе с поросёнком. А поросёнок вместе с телёнком – столько же, сколько ягнёнок вместе с козлёнком.

Сколько весит поросёнок, если ягнёнок весит 30 кг?

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что  3^<i>n</i> + 2·17^<i>n</i>  является квадратом некоторого натурального числа?

Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.

Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.

Существует ли натуральное число, меньшее ста, которое можно представить в виде суммы двух квадратов различных натуральных чисел двумя различными способами?

Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел <i>m</i> и <i>n</i>, если известно, что при увеличении числа <i>m</i> на 6 он увеличивается в 9 раз?

Две окружности пересекаются в точках <i>А</i> и <i>В</i>. Через точку <i>В</i> проведена прямая, пересекающая окружности в точках <i>М</i> и <i>N</i> так, что <i>АВ</i> – биссектриса треугольника <i>МАN</i>. Докажите, что отношение отрезков <i>ВМ</i> и <i>BN</i> равно отношению радиусов окружностей.

Сто положительных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке.

Какие числа могут быть записаны?

Кодовый замок откроется, если в клетках квадрата размером 4×4 набрать числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2×2 была кратна 17. Можно ли открыть такой замок?

Число 1047 при делении на <i>A</i> дает остаток 23, а при делении на  <i>A</i> + 1  – остаток 7. Найдите A.

Можно ли поставить в ряд все натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы каждые два соседних числа отличались либо на 2, либо в два раза?

Верно ли, что любое положительное чётное число можно представить в виде произведения целых чисел, сумма которых равна нулю?

Верно ли, что любой треугольник можно разбить на четыре равнобедренных треугольника?

Известно, что значения выражений ^<i>b</i>/_<i>a</i> и ^<i>b</i>/_<i>c</i> находятся в интервале  (–0,9, –0,8).  В каком интервале лежат значения выражения ^<i>c</i>/_<i>a</i>?