Олимпиадные задачи из источника «2016/2017» для 10-11 класса - сложность 3 с решениями
На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?
Назовём натуральное число убывающим, если каждая цифра в его десятичной записи, кроме первой, меньше или равна предыдущей. Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что число 16<sup><i>n</i></sup> – убывающее?
В треугольнике <i>АВС</i> проведены медиана <i>АМ</i>, биссектриса <i>AL</i> и высота <i>AH</i>.
Найдите радиус описанной окружности Ω треугольника <i>АВС</i>, если <i>AL = t, AH = h</i> и <i>L</i> – середина отрезка <i>MH</i>.
Дан многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>4</sup> + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx</i>. Известно, что каждое из уравнений <i>f</i>(<i>x</i>) = 1 и <i>f</i>(<i>x</i>) = 2 имеет четыре корня. Докажите, что если для корней первого уравнения выполняется равенство <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> = <i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub>, то и для корней второго уравнения выполняется аналогичное равенство.
Дан куб <i>АBCDA'B'C'D'</i> c ребром 1. На его рёбрах <i>АВ, ВС, C'D'</i> и <i>D'A'</i> отмечены точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>KLMN</i> – квадрат.
Найдите его площадь.
В правильном 21-угольнике шесть вершин покрашены в красный цвет, а семь вершин – в синий.
Обязательно ли найдутся два равных треугольника, один из которых с красными вершинами, а другой – с синими?
Все грани треугольной пирамиды <i>SABC</i> – остроугольные треугольники. <i>SX</i> и <i>SY</i> – высоты граней <i>ASВ</i> и <i>BSС</i>. Известно, что четырёхугольник <i>AXYC</i> – вписанный. Докажите, что прямые <i>AC</i> и <i>BS</i> перпендикулярны.
Внутри равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>M</i> так, что ∠<i>АМС</i> = 150°.
Докажите, что отрезки <i>АМ, ВМ</i> и <i>СМ</i> таковы, что сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего.