Олимпиадные задачи из источника «14 (2016 год)» - сложность 3 с решениями
14 (2016 год)
НазадИз точки <i>A</i> к окружности ω проведена касательная <i>AD</i> и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках <i>B</i> и <i>C</i> (<i>B</i> лежит между точками <i>A</i> и <i>C</i>). Докажите, что окружность, проходящая через точки <i>C</i> и <i>D</i> и касающаяся прямой <i>BD</i>, проходит через фиксированную точку (отличную от <i>D</i>).
В выпуклой <i>n</i>-угольной призме равны все боковые грани. При каких <i>n</i> эта призма обязательно прямая?
Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65649/problem_65649_img_2.png"></div>
Дан квадратный лист бумаги со стороной 2016. Можно ли, согнув его не более десяти раз, построить отрезок длины 1?
Точки <i>I<sub>A</sub>, I<sub>B</sub>, I<sub>C</sub></i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся сторон <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> соответственно. Перпендикуляр, опущенный из <i>I<sub>A</sub></i> на <i>AC</i>, пересекает перпендикуляр, опущенный из <i>I<sub>B</sub></i> на <i>BC</i>, в точке <i>X<sub>C</sub></i>. Аналогично определяются точки <i>X<sub>A</sub></i> и <i>X<sub>B</sub></i>. Докажите, что прямые <i>I<sub>A</sub>X<sub>A</sub>, I<sub>B</sub>X<sub>B</sub><...
Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины гипотенузы <i>AB</i> и катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> соответственно. Вневписанная окружность треугольника <i>ACM</i> касается стороны <i>AM</i> в точке <i>Q</i>, а прямой <i>AC</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>P</i>, <i>Q</i> и <i>N</i> лежат на одной прямой.