Олимпиадные задачи из источника «21 турнир (1999/2000 год)» для 3-9 класса - сложность 2 с решениями

На бумаге "в клеточку" нарисован выпуклый многоугольник <i>M</i>, так что все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идёт по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков линий сетки, заключённых внутри <i>M</i>, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сетки внутри <i>M</i>.

Длины оснований трапеции равны <i>m</i> см и <i>n</i> см (<i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>m ≠ n</i>).  Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

Найдите все действительные корни уравнения   (<i>x</i> + 1)²¹ + (<i>x</i> + 1)²⁰(<i>x</i> – 1) + (<i>x</i> + 1)¹⁹(<i>x</i> – 1)² + ... + (<i>x</i> – 1)²¹ = 0.

Существует ли такая бесконечная последовательность, состоящая из

  а) действительных

  б) целых

чисел, что сумма любых десяти подряд идущих чисел положительна, а сумма любых первых подряд идущих  10<i>n</i> + 1  чисел отрицательна при любом натуральном <i>n</i>?

На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на двух других противоположных – по две точки, и на двух оставшихся – по три точки. Из восьми таких кубиков сложили куб 2×2×2 и посчитали суммарное число точек на каждой из его шести граней.

Могли ли получиться шесть последовательных чисел?

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре треугольника. Оказалось, что сумма площадей двух противоположных (имеющих только общую вершину) треугольников равна сумме площадей двух других треугольников. Докажите, что одна из диагоналей делится другой диагональю пополам.

В основании призмы лежит <i>n</i>-угольник. Требуется раскрасить все 2<i>n</i> её вершин тремя красками так, чтобы каждая вершина была связана рёбрами с вершинами всех трёх цветов.

  а) Докажите, что если <i>n</i> делится на 3, то такая раскраска возможна.

  б) Докажите, что если если такая раскраска возможна, то <i>n</i> делится на 3.

В трапеции <i>ABCD</i> площади 1 основания <i>BC</i> и <i>AD</i> относятся как  1 : 2.&nbsp Пусть <i>K</i> – середина диагонали <i>AC</i>. Прямая <i>DK</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>L</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>BCKL</i>.

Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, <i>C'</i> и <i>A'</i> – произвольные точки на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, <i>B'</i> – середина стороны <i>AC</i>.

  а) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> не больше половины площади треугольника <i>ABC</i>.

  б) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> равна четверти площади треугольника <i>ABC</i> тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек <i>A', C'</i> совпадает с серединой соответствующей стороны.

Несколько последовательных натуральных чисел выписали в строку в таком порядке, что сумма каждых трёх подряд идущих чисел делится на самое левое число этой тройки. Какое максимальное количество чисел могло быть выписано, если последнее число строки нёчётно?

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8×8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

В Италии выпускают часы, в которых часовая стрелка делает в сутки один оборот, а минутная – 24 оборота, причём, как обычно, минутная стрелка длиннее часовой (в обычных часах часовая стрелка делает в сутки два оборота, а минутная – 24). Рассмотрим все положения двух стрелок и нулевого деления итальянских часов, которые встречаются и на обычных часах. Сколько таких положений существует на итальянских часах в течение суток? (Нулевое деление отмечает 24 часа в итальянских часах и 12 часов в обычных часах.)

На плоскости проведено <i>n</i> прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.

Рассматриваются тройки целых чисел <i>a, b</i> и <i>c</i>, для которых выполнено условие:  <i>a + b + c</i> = 0.  Для каждой такой тройки вычисляется число

<i>d = a</i>¹⁹⁹⁹ + <i>b</i>¹⁹⁹⁹ + <i>c</i>¹⁹⁹⁹.   Может ли случиться, что

  а)  <i>d</i> = 2?

  б) <i>d</i> – простое число?

Бумажный прямоугольный треугольник перегнули по прямой так, что вершина прямого угла совместилась с другой вершиной.

  а) В каком отношении делятся диагонали полученного четырёхугольника их точкой пересечения?

  б) Полученный четырёхугольник разрезали по диагонали, выходящей из третьей вершины исходного треугольника. Найти площадь наименьшего образовавшегося куска бумаги.