Олимпиадные задачи из источника «35 турнир (2013/2014 год)» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями

Незнайка хвастается, что написал в ряд несколько единиц, поставил между каждыми соседними единицами знак "+" или "&times", расставил скобки и получил выражение, значение которого равно 2014; более того, если в этом выражении заменить одновременно все знаки "+" на знаки "&times", а знаки "&times" на знаки "+", все равно получится 2014. Может ли он быть прав?

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пешеход Петя выходит из вершины <i>A</i>, идёт по стороне <i>AB</i> и далее по контуру четырёхугольника. Пешеход Вася выходит из вершины <i>A</i> одновременно с Петей, идёт по диагонали <i>AC</i> и одновременно с Петей приходит в <i>C</i>. Пешеход Толя выходит из вершины <i>B</i> в тот момент, когда её проходит Петя, идёт по диагонали <i>BD</i> и одновременно с Петей приходит в <i>D</i>. Скорости пешеходов постоянны.

Могли ли Вася и Толя прийти в точку пересечения диагоналей <i>O</i> одновременно?

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> попарно взаимно просты и удовлетворяют равенству  <i>ab + cd = ac</i> – 10<i>bd</i>.

Докажите, что среди них найдутся три числа, одно из которых равно сумме двух других.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали перпендикулярны. На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> отмечены соответственно точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что углы <i>ABN</i> и <i>CBM</i> прямые. Докажите, что прямые <i>AC</i> и <i>MN</i> параллельны.

У Чебурашки есть набор из 36 камней массами 1 г, 2 г, ..., 36 г, а у Шапокляк есть суперклей, одной каплей которого можно склеить два камня в один (соответственно, можно склеить три камня двумя каплями и так далее). Шапокляк хочет склеить камни так, чтобы Чебурашка не смог из получившегося набора выбрать один или несколько камней общей массой 37 г. Какого наименьшего количества капель клея ей хватит, чтобы осуществить задуманное?

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> прямой. На катете <i>CB</i> как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, точка <i>N</i> – середина этой полуокружности. Докажите, что прямая <i>AN</i> делит пополам биссектрису <i>CL</i>.

Учитель выбрал 10 подряд идущих натуральных чисел и сообщил их Пете и Васе. Каждый мальчик должен разбить эти 10 чисел на пары, подсчитать произведение чисел в каждой паре, а затем сложить полученные пять произведений. Докажите, что мальчики могут сделать это так, чтобы разбиения на пары у них не были одинаковыми, но итоговые суммы совпадали.

Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник.

Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.

На сторонах треугольника <i>ABC</i> построены три подобных треугольника: <i>YBA</i> и <i>ZAC</i> – во внешнюю сторону, а <i>XBC</i> – внутрь (соответственные вершины перечисляются в одинаковом порядке). Докажите, что <i>AYXZ</i> – параллелограмм.

На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> отметили соответственно точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что  <i>AK = CL</i>  и  ∠<i>ALK</i> + ∠<i>LKB</i> = 60°.

Докажите, что  <i>KL = BC</i>.

Наибольший общий делитель натуральных чисел <i>a, b</i> будем обозначать  (<i>a, b</i>).  Пусть натуральное число <i>n</i> таково, что

(<i>n, n</i> + 1) < (<i>n, n</i> + 2) < ... < (<i>n, n</i> + 35).  Докажите, что  (<i>n, n</i> + 35) < (<i>n, n</i> + 36).

Найдётся ли такое десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырёхзначное число?

В турнире участвуют 100 борцов, все разной силы. Более сильный всегда побеждает более слабого. Борцы разбились на пары и провели поединки. Затем разбились на пары по-другому и снова провели поединки. Призы получили те, кто выиграл оба поединка. Каково наименьшее возможное количество призёров?

Найдите все <i>n</i>, при которых для любых двух многочленов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> найдутся такие одночлены <i>ax^k</i> и <i>bx^l</i>

(0 ≤ <i>k ≤ n</i>,  0 ≤ <i>l ≤ n</i>),  что графики многочленов  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>ax^k</i>  и  <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>bx^l</i>  не будут иметь общих точек.