Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 2-3 с решениями
Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC, T</i> – центр описанной окружности треугольника <i>AOC, M</i> – середина <i>AC</i>. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>D</i> и <i>E</i> соответственно так, что ∠<i>BDM</i> = ∠<i>BEM</i> = ∠<i>B</i>. Докажите, что <i>BT</i> ⊥ <i>DE</i>.
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа <i>m, n, p, q</i>, что <i>m + n = p + q</i> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109812/problem_109812_img_2.gif">
Даны натуральное число <i>n</i> > 3 и положительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство <img align="middle" src="/storage/problem-media/109811/problem_109811_img_2.gif">
На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков– белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какие-нибудь две коробочки, в которых лежат белые шарики?
Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности. Биссектрисы внешних углов<i> A </i>и<i> B </i>пересекаются в точке<i> K </i>, внешних углов<i> B </i>и<i> C </i>– в точке<i> L </i>, внешних углов<i> C </i>и<i> D </i>– в точке<i> M </i>, внешних углов<i> D </i>и<i> A </i>– в точке<i> N </i>. Пусть<i> K<sub>1</sub> </i>,<i> L<sub>1</sub> </i>,<i> M<sub>1</sub> </i>,<i> N<sub>1</sub> </i>– точки пересечения высот треугольников<i> ABK </i>,<i> BCL </i>,<i> CDM </i>,<i> DAN </i>соответственно. До...
Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
Последовательность неотрицательных рациональных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... удовлетворяет соотношению <i>a<sub>m</sub> + a<sub>n</sub> = a<sub>mn</sub></i> при любых натуральных <i>m, n</i>.
Докажите, что не все её члены различны.
На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?
Пусть <i>I<sub>A</sub></i> и <i>I<sub>B</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно, а <i>P</i> – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников <i>I<sub>A</sub>CP</i> и <i>I<sub>B</sub>CP</i>, совпадает с центром окружности Ω.