Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 1-3 с решениями

<i>H</i> – точка пересечения высот <i>AA'</i> и <i>BB'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, пересекает эти высоты в точках <i>D</i> и <i>E</i>, а сторону <i>AB</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>DEH</i> лежит на отрезке <i>CP</i>.

Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше?

В треугольнике <i>ABC</i>  <i>AB – BC</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115902/problem_115902_img_2.gif">.  Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>BN</i> – биссектриса.  Докажите, что  ∠<i>BMC</i> + ∠<i>BNC</i> = 90°.

Пусть <i>AH_a</i> и <i>BH_b</i> – высоты треугольника <i>ABC, P</i> и <i>Q</i> – проекции точки <i>H_a</i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> делит отрезок <i>H_aH_b</i> пополам.

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i> равны <i>R</i> и <i>r</i>; <i>O, I</i> – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> – проекция точки <i>P</i> на прямую <i>OI</i>. Найдите расстояние <i>OQ</i>.

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ подобны и по-разному ориентированы. На отрезке <i>AA</i>₁ взята такая точка <i>A'</i>, что  <i>AA'</i> : <i>A</i>₁<i>A' = BC</i> : <i>B</i>₁<i>C</i>₁.  Аналогично строим <i>B'</i> и <i>C'</i>. Докажите, что <i>A', B'</i> и <i>C'</i> лежат на одной прямой.

Пусть <i>I_A</i> и <i>I_B</i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно, а <i>P</i> – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников <i>I_ACP</i> и <i>I_BCP</i>, совпадает с центром окружности Ω.

Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.

Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $R$. Пусть $h_1$ и $h_2$ – высоты опущенные из точки $A$ на стороны $BC$ и $CD$ соответственно. Аналогично $h_3$ и $h_4$ – высоты опущенные из точки $C$ на стороны $AB$ и $AD$. Докажите, что $$ \frac{h_1+h_2-2R}{h_1h_2}=\frac{h_3+h_4-2R}{h_3h_4}. $$

Два четырехугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ симметричны друг другу относительно точки $P$. Известно, что четырехугольники $A_1BCD$, $AB_1CD$ и $ABC_1D$ вписанные. Докажите, что $ABCD_1$ тоже вписанный.

Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> проходит через центр <i>O</i> треугольника <i>ABC</i>. Окружности Г_<i>b</i> и Г_<i>c</i> построены на отрезках <i>BP</i> и <i>CQ</i> как на диаметрах.

Докажите, что окружности Г_<i>b</i> и Г_<i>c</i> пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.

Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> касается ω. Окружность Ω_<i>b</i> с центром <i>P</i> проходит через вершину <i>B</i>, а окружность Ω_<i>c</i> с центром <i>Q</i> – через <i>C</i>. Докажите, что окружности Ω, Ω_<i>b</i> и Ω_<i>c</i> имеют общую точку.

По краю многоугольного стола ползут два муравья. Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья находятся на одной из сторон стола.

  a) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы в каждой точке края побывал каждый из муравьев?

  б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на краю не осталось точек, в которых не побывал ни один из муравьев?

Дан квадрат <i>ABCD, M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>BC</i> и <i>AD</i>. На продолжении диагонали <i>AC</i> за точку <i>A</i> взяли точку <i>K</i>. Отрезок <i>KM</i> пересекает сторону <i>AB</i>

в точке <i>L</i>. Докажите, что углы <i>KNA</i> и <i>LNA</i> равны.

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – середины сторон <i>BC</i>, <i>CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Точки <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ – середины отрезков <i>BA</i>₁ и <i>CA</i>₁ соответственно. Точка <i>B</i>₃ симметрична <i>C</i>₁ относительно <i>B</i>, а точка <i>C</i>₃ симметрична <i>B</i>₁ относительно <i>C</i>....

Дана прямая <i>l</i> в пространстве и точка <i>A</i>, не лежащая на ней. Для каждой прямой <i>l'</i>, проходящей через <i>A</i>, построим общий перпендикуляр <i>XY</i> (<i>Y</i> лежит на <i>l'</i>) к прямым <i>l</i> и <i>l'</i>. Найдите ГМТ точек <i>Y</i>.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что  ∠<i>ABD</i> + ∠<i>ACD</i> > ∠<i>BAC</i> + ∠<i>BDC</i>.  Докажите, что  <i>S_ABD + S_ACD > S_BAC + S_BDC</i>.

Дано два тетраэдра <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄ и <i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃<i>B</i>₄. Рассмотрим шесть пар рёбер <i>A_iA_j</i> и <i>B_kB_l</i>, где  (<i>i, j, k, l</i>)  – перестановка чисел  (1, 2, 3, 4)  (например, <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и <i>B</i>₃<i>B</i><sub>4&l...

Дана тригармоническая четвёрка точек <i>A, B, C</i> и <i>D</i> (то есть  <i>AB·CD = AC·BD = AD·BC</i>).  Пусть <i>A</i>₁ – такая отличная от <i>A</i> точка, что четвёрка точек <i>A</i>₁, <i>B, C</i> и <i>D</i> тригармоническая. Точки <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ и <i>D</i>₁ определяются аналогично. Докажите, что

  a) <i>A, B, C</i>₁, <i>D</i>₁ лежат на одной окружности;

  б) точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C...

Два выпуклых многоугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> и <i>B</i>₁<i>B</i>₂...<i>B_n</i>  (<i>n</i> ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.

Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

Плоскость α пересекает рёбра <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> треугольной пирамиды <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно. Оказалось, что двугранные углы

∠(<i>KLA, KLM</i>),  ∠(<i>LMB, LMN</i>),  ∠(<i>MNC, MNK</i>)  и  ∠(<i>NKD, NKL</i>)  равны. (Через  ∠(<i>PQR, PQS</i>)  обозначается двугранный угол при ребре <i>PQ</i> в тетраэдре <i>PQRS</i>.) Докажите, что проекции вершин <i>A, B, C</i> и <i>D</i> на плоскость α лежат на одной окружности.