Олимпиадные задачи по математике для 5-11 класса - сложность 2-5 с решениями
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором ∠<i>B</i> = 120°. На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что лучи <i>AQ</i> и <i>CP</i> пересекаются под прямым углом. Докажите, что ∠<i>PQB</i> = 2∠<i>PCQ</i>.
<i>H</i> – точка пересечения высот <i>AA'</i> и <i>BB'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, пересекает эти высоты в точках <i>D</i> и <i>E</i>, а сторону <i>AB</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>DEH</i> лежит на отрезке <i>CP</i>.
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами <i>AB</i> и <i>BC</i> отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Дан выпуклый шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Известно, что ∠<i>FAE</i> = ∠<i>BDC</i>, а четырёхугольники <i>ABDF</i> и <i>ACDE</i> являются вписанными.
Докажите, что прямые <i>BF</i> и <i>CE</i> параллельны.
В трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> лучи <i>AB</i> и <i>DC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABD</i> и <i>BCD</i>. Докажите, что ∠<i>PKA</i> = ∠<i>QKD</i>.
Один треугольник лежит внутри другого.
Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.
В треугольнике <i>ABC</i> <i>AB – BC</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115902/problem_115902_img_2.gif">. Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>BN</i> – биссектриса. Докажите, что ∠<i>BMC</i> + ∠<i>BNC</i> = 90°.
Пусть <i>AH<sub>a</sub></i> и <i>BH<sub>b</sub></i> – высоты треугольника <i>ABC, P</i> и <i>Q</i> – проекции точки <i>H<sub>a</sub></i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> делит отрезок <i>H<sub>a</sub>H<sub>b</sub></i> пополам.
Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i> равны <i>R</i> и <i>r</i>; <i>O, I</i> – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> – проекция точки <i>P</i> на прямую <i>OI</i>. Найдите расстояние <i>OQ</i>.
Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия – натуральное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счет пополнился на 847 рублей. Сколько денег положил на счет Федя, если известно, что комиссия менее 30%?
Окружность ω с центром <i>O</i> вписана в угол <i>BAC</i> и касается его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Внутри угла <i>BAC</i> выбрана точка <i>Q</i>. На отрезке <i>AQ</i> нашлась такая точка <i>P</i>, что <i>AQ</i> ⊥ <i>OP</i>. Прямая <i>OP</i> пересекает описанные окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> треугольников <i>BPQ</i> и <i>CPQ</i>, вторично в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что <i>OM = ON</i>.
Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?
На стороне <i>BC</i> ромба <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>. Прямые, проведённые через <i>M</i> перпендикулярно диагоналям <i>BD</i> и <i>AC</i>, пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Оказалось, что прямые <i>PB, QC</i> и <i>AM</i> пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение <i>BM</i> : <i>MC</i>?
Поставьте на плоскости 9 точек так, чтобы никакие 4 не лежали на одной прямой, но из любых шести нашлись 3, лежащие на одной прямой. (На рисунке проведите все прямые, на которых лежат по три отмеченные точки.)
Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> подобны и по-разному ориентированы. На отрезке <i>AA</i><sub>1</sub> взята такая точка <i>A'</i>, что <i>AA'</i> : <i>A</i><sub>1</sub><i>A' = BC</i> : <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>. Аналогично строим <i>B'</i> и <i>C'</i>. Докажите, что <i>A', B'</i> и <i>C'</i> лежат на одной прямой.
Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов<i> P<sub>1</sub> </i>,<i> P<sub>2</sub> </i>,<i> P</i>12, ребра которых параллельны координатным осям<i> Ox </i>,<i> Oy </i>,<i> Oz </i>так, чтобы<i> P<sub>2</sub> </i>пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме<i> P<sub>1</sub> </i>и<i> P<sub>3</sub> </i>,<i> P<sub>3</sub> </i>пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P<sub>2</sub> </i>и<i> P<sub>4</sub> </i>, и т.д.,<i> P</i>12пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P</i...
Пусть <i>I<sub>A</sub></i> и <i>I<sub>B</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно, а <i>P</i> – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников <i>I<sub>A</sub>CP</i> и <i>I<sub>B</sub>CP</i>, совпадает с центром окружности Ω.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> углы <i>A</i> и <i>C</i> равны. Биссектриса угла <i>B</i> пересекает прямую <i>AD</i> в точке <i>P</i>. Перпендикуляр к <i>BP</i>, проходящий через точку <i>A</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>PQ</i> и <i>CD</i> параллельны.
В остроугольном треугольнике проведены высоты <i>AA'</i> и <i>BB'</i>. На дуге <i>ACB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>D</i>. Пусть прямые <i>AA'</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>BB'</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямая <i>A'B'</i> проходит через середину отрезка <i>PQ</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AH<sub>A</sub>, BH<sub>B</sub></i> и <i>CH<sub>C</sub></i>.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников <i>AH<sub>B</sub>H<sub>C</sub>, BH<sub>A</sub>H<sub>C</sub></i> и <i>CH<sub>A</sub>H<sub>B</sub></i> равен треугольнику <i>H<sub>A</sub>H<sub>B</sub>H<sub>C</sub></i>.
а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.) б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)
Стороны <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> касаются некоторой окружности в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно, <i>S</i> – точка пересечения отрезков <i>KM</i> и <i>LN</i>. Известно, что вокруг четырёхугольника <i>SKBL</i> можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырёхугольника <i>SNDM</i> также можно описать окружность.
Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.
Окружность, проходящая через вершины $B$ и $D$ четырехугольника $ABCD$, пересекает его стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $K$ и $M$, пересекает прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $L$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.