Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 11 класса, сложность 2-3

Задача 216439 • Сложность: 2 • 9-11 класс

Найдите все неотрицательные решения системы уравнений:

x³ = 2y² – z,

y³ = 2z² – x,

z³ = 2x² – y.

Фольклор Алгебраические неравенства и системы неравенств Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 210096 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Набор чиселa0,a1, ...,anудовлетворяет условиям: a0= 0, 0 ≤ak+1–ak≤ 1 при k= 0, 1, ...,n– 1. Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110096/problem_110096_img_2.gif">

Храмцов Д. Алгебраические уравнения и системы уравнений Индукция

Задача 210087 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Набор чисел a0, a1, ..., an удовлетворяет условиям: a0 = 0, ak+1 ≥ ak + 1 при k = 0, 1, ..., n – 1. Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110087/problem_110087_img_2.gif">

Храмцов Д. Алгебраические уравнения и системы уравнений Индукция

Задача 209484 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений 4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007.

Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?

Алексеев В. Б. Алгебраические уравнения и системы уравнений Тригонометрия Показательные функции и логарифмы Методы решения задач с параметром

Задача 209440 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Решите уравнение: (x³ – 2)(2sin x – 1) + (2x³ – 4) sin x = 0.

Алгебраические уравнения и системы уравнений Функции одной переменной. Непрерывность

Задача 209166 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Решить уравнение (x² – x + 1)4 – 10x²(x² – x + 1)² + 9x4 = 0.

Алгебраические уравнения и системы уравнений Алгебраические методы

Задача 208989 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Решить систему уравнений <img align="middle" src="/storage/problem-media/108989/problem_108989_img_2.gif">

Корни. Степень с рациональным показателем Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 207770 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти угл...

Маркелов С. В. Алгебраические уравнения и системы уравнений Планиметрия

Задача 205085 • Сложность: 2 • 9-11 класс

Пусть f(x) = x² + 12x + 30. Решите уравнение f(f(f(f(f(x))))) = 0.

Евдокимов М. А. Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений Алгебраические методы

Задача 198392 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений

x² + y² = A,

|x| + |y| = B

имеет m решений, а система уравнений

x² + y² + z² = C,

|x| + |y| + |z| = D

имеет n решений. Известно, что m > n > 1. Найдите m и n.

Гальперин Г. А. Алгебраические уравнения и системы уравнений Стереометрия Методы решения задач с параметром Геометрические методы

Задача 179595 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Функцияf(x) при каждом значении x∈ (− ∞, + ∞) удовлетворяет равенству f(x) + (x+ ½)f(1 −x) = 1. а) Найдитеf(0) иf(1). б) Найдите все такие функцииf(x).

Алгебраические уравнения и системы уравнений Функции одной переменной. Непрерывность

Задача 179481 • Сложность: 2 • 11 класс

Решить уравнение <img align="middle" src="/storage/problem-media/79481/problem_79481_img_2.gif">

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений Алгебраические методы

Задача 178686 • Сложность: 3 • 11 класс

Рассматривается система уравнений:

Докажите, что при некоторых k такая система имеет решение.

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 178282 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дана система уравнений:

Какие значения может принимать x25?

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 178102 • Сложность: 2 • 10-11 класс

Решить уравнение x³ – [x] = 3.

Алгебраические уравнения и системы уравнений Действительные числа

Задача 178075 • Сложность: 2 • 11 класс

Докажите, что система уравнений x1 – x2 = a, x3 – x4 = b, x1 + x2 + x3 + x4 = 1 имеет хотя бы одно положительное решение тогда и только тогда, когда |a| + |b| < 1.

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 178054 • Сложность: 2 • 8-11 класс

Дано уравнение xn – a1xn–1 – a2xn–2 – ... – an–1x – an = 0, где a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, an ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Алгебраические уравнения и системы уравнений Методы математического анализа

Задача 178036 • Сложность: 2 • 9-11 класс

Найти все действительные решения системы

x³ + y³ = 1,

x4 + y4 = 1.

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 178009 • Сложность: 2 • 10-11 класс

Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:

a1 – 4a2 + 3a3 ≥ 0,

a2 – 4a3 + 3a4 ≥ 0,

a3 – 4a4 + 3a5 ≥ 0,

...,

a99 – 4a100 +...

Алгебраические неравенства и системы неравенств Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 178005 • Сложность: 2 • 10-11 класс

Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:

a1 – 3a2 + 2a3 ≥ 0,

a2 – 3a3 + 2a4 ≥ 0,

a3 – 3a4 + 2a5 ≥ 0,

...,

a99 – 3a100 +...

Алгебраические неравенства и системы неравенств Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 177992 • Сложность: 2 • 11 класс

Найти корни уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">

Алгебраические уравнения и системы уравнений Треугольник Паскаля и бином Ньютона

Задача 177961 • Сложность: 2 • 9-11 класс

Решить систему уравнений: x1x2 = x2x3 = ... = xn–1xn = xnx1 = 1.

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 176508 • Сложность: 2 • 10-11 класс

Система уравнений второго порядка

x² – y² = 0,

(x – a)² + y² = 1

имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях a число решений системы уменьшается до трёх или до двух?

Алгебраические уравнения и системы уравнений Методы решения задач с параметром Геометрические методы Графики и ГМТ на координатной плоскости

Задача 176453 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Решить уравнение <img width="98" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/76453/problem_76453_img_2.gif"> = x.

Многочлены Корни. Степень с рациональным показателем Алгебраические уравнения и системы уравнений Методы решения задач с параметром

Задача 173740 • Сложность: 3 • 9-11 класс

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что

а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;

б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

Теория множеств Текстовые задачи Линейная и полилинейная алгебра Теория чисел. Делимость Алгебраические уравнения и системы уравнений Принцип Дирихле

Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Источники

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Источники

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления