Олимпиадные задачи из источника «Рамблер-Наука - задача дня (www.nature.ru)» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей – молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.

По прямой в одном направлении на некотором расстоянии друг от друга движутся пять одинаковых шариков, а навстречу им движутся пять других таких же шариков. Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с какой двигались до столкновения. Сколько всего столкновений произойдёт между шариками?

Десятичная запись натурального числа <i>a</i> состоит из <i>n</i> цифр, а десятичная запись числа <i>a</i>³ состоит из <i>m</i> цифр. Может ли  <i>m + n</i>  равняться 2001?

Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  изменили не больше чем на 0,001.

Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?

Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: <i>AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH</i> (на рисунке приведена схема соединения рёбер)? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/97791/problem_97791_img_2.gif"></div>

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию.

Доказать, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.

Квадратная таблица в <i>n</i>² клеток заполнена числами от 1 до <i>n</i> так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если <i>n</i> нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., <i>n</i>. Доказать.

В автобусе <i>n</i> мест, и все билеты проданы <i>n</i> пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету?

Докажите, что многочлен  <i>x</i>⁴⁴ + <i>x</i>³³ + <i>x</i>²² + <i>x</i>¹¹ + 1  делится на   <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.

Докажите, что для составного числа 561 справедлив аналог малой теоремы Ферма: если  (<i>a</i>, 561) = 1,  то  <i>a</i>⁵⁶⁰ ≡ 1 (mod 561).

Архитектор хочет расположить семь высотных зданий так, чтобы, гуляя по городу, можно было увидеть их шпили в любом (циклическом) порядке.

Удастся ли это ему?

Даны многочлены <i>P</i>₁, <i>P</i>₂, ... , <i>P</i>₅, имеющие суммы коэффициентов, равные 1, 2, 3, 4, 5 соответственно.

Найдите сумму коэффициентов многочлена  <i>Q</i> = <i>P</i>₁<i>P</i>₂...<i>P</i>₅.

Существует ли непрерывная функция, принимающая каждое действительное значение ровно 3 раза?

Укажите такое шестизначное число <i>N</i>, состоящее из различных цифр, что числа 2<i>N</i>, 3<i>N</i>, 4<i>N</i>, 5<i>N</i>, 6<i>N</i> отличаются от него перестановкой цифр.

Докажите, что графики функций  <i>y = x</i>²  и  <i>y</i> = 2<i>x</i>²  являются подобными фигурами.

Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

Найдите все конечные множества точек на плоскости, обладающие таким свойством: никакие три точки множества не лежат на одной прямой и вместе с каждыми тремя точками данного множества ортоцентр треугольника, образованного этими точками, также принадлежит данному множеству.

Повесьте картину на веревочке на два гвоздя так, чтобы при вытаскивании любого из гвоздей картина падала.

Докажите, что в пространстве найдётся гладкая кривая, которая пересекается с каждой плоскостью.

Выписаны в ряд числа от 1 до 2002. Играют двое, делая ходы поочередно. За один ход разрешается вычеркнуть любое из записанных чисел вместе со всеми его делителями. Выигрывает тот, кто зачеркнёт последнее число. Докажите, что у первого игрока есть способ играть так, чтобы всегда выигрывать.

Можно ли через вершины куба провести 8 параллельных плоскостей так, чтобы расстояния между соседними плоскостями были равны?

Любой ли трехгранный угол можно так пересечь плоскостью, что в сечении получится правильный треугольник?

В одной из трех коробок лежит приз, две другие коробки пустые. Вы не знаете, в какой из коробок находится приз, а ведущий знает. Вы должны показать на одну из коробок, в которой по Вашему мнению находится приз. После этого ведущий открывает одну из двух оставшихся коробок. Так как он не хочет сразу отдавать приз, он открывает пустую коробку. После этого Вам предлагается окончательно выбрать коробку. Можете ли Вы выиграть приз с вероятностью, большей 1/2?

На бесконечной шахматной доске через каждые три клетки по горизонтали и по вертикали стоит фишка. Можно ли обойти конем оставшуюся часть доски, побывав при этом на каждом поле ровно один раз?