Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Комбинаторика» - сложность 3 с решениями
На двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?
Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?
На сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?
а) Пусть {<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>,..., <i>a<sub>n</sub></i>} – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>}, {<i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, <i>a</i><sub>1</sub>}, ..., {<i>a<sub>n</sub></i>, <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub>} все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положит...
Сколько существует способов разрезать выпуклый (<i>n</i>+2)-угольник диагоналями на треугольники?
Сколько последовательностей {<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub>}, состоящих из единиц и минус единиц, обладают тем свойством, что <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub> = 0, а все частичные суммы <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub> неотрицательны?
Докажите, что в условии задач <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160445">160445</a> б) и в) числа <sup>1</sup>/<sub>5</sub> и <sup>1</sup>/<sub>20</sub> нельзя заменить большими величинами. >
В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше <sup>3</sup>/<sub>20</sub>;
б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше <sup>1</sup>/<sub>20</sub>.
Найдите суммы рядов а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_2.gif">
б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_3.gif">
в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_4.gif"> (<i>r</i> ≥ 2).
Найдите сумму (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160424">160424</a> про треугольник Лейбница):
<sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + <sup>1</sup>/<sub>60</sub> + <sup>1</sup>/<sub>105</sub> + ...
и обобщите полученный результат.
Докажите равенства (см. <i>треугольник Лейбница</i>, задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160424">160424</a>): а) 1 = <sup>1</sup>/<sub>2</sub> + <sup>1</sup>/<sub>6</sub> + <sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>20</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + ... ; б) <sup>1</sup>/<sub>2</sub> = <sup>1</sup>/<sub>3</sub> + <sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + <sup>1</sup>/<sub>60</sub> + <sup>1</sup>/<sub>105</sub> + ... ; в) <sup>1</sup>/<sub>3&...
При каких значениях <i>n</i> все коэффициенты в разложении бинома Ньютона (<i>a + b</i>)<sup><i>n</i></sup> нечётны?
Докажите, что из 11 различных бесконечных десятичных дробей можно выбрать две такие, которые совпадают в бесконечном числе разрядов.
Даны 1002 различных числа, не превосходящих 2000. Докажите, что из них можно выбрать три таких числа, что сумма двух из них равна третьему. Останется ли это утверждение справедливым, если число 1002 заменить на 1001?
Дано 51 различное двузначное число (однозначные числа считаем двузначными с первой цифрой 0). Докажите, что из них можно выбрать 6 таких чисел, что никакие 2 из них не имеют одинаковых цифр ни в одном разряде.
Имеется 2<i>k</i> + 1 карточек, занумерованных числами от 1 до 2<i>k</i> + 1. Какое наибольшее число карточек можно выбрать так, чтобы ни один из извлечённых номеров не был равен сумме двух других извлечённых номеров?