Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.» для 8 класса - сложность 2 с решениями

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Разложите  <i>P</i>(<i>x</i> + 3)  по степеням <i>x</i>, где  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ – <i>x</i>³ + 1.

Пользуясь схемой Горнера, разложите  <i>x</i>⁴ + 2<i>x</i>³ – 3<i>x</i>² – 4<i>x</i> + 1  по степеням  <i>x</i> + 1.

Значение многочлена  <i>P_n</i>(<i>x</i>) = <i>a_nxⁿ</i> + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀    (<i>a_n</i> ≠ 0)  в точке  <i>x = c</i>  можно вычислить, используя ровно <i>n</i> умножений. Для этого нужно представить многочлен <i>P_n</i>(<i>x</i>) в виде  <i>P_n</i>(<i>x</i>) = (...(<i>a_nx + a</i><sub><...

Сколько представлений допускает дробь  <img width="67" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60999/problem_60999_img_2.gif">  в виде суммы двух положительных дробей со знаменателями <i>n</i> и  <i>n</i> + 1?

Найдите такие линейные функции  <i>P</i>(<i>x</i>)  и  <i>Q</i>(<i>x</i>),  чтобы выполнялось равенство   <i>P</i>(<i>x</i>)(2<i>x</i>³ – 7<i>x</i>² + 7<i>x</i> – 2) + <i>Q</i>(<i>x</i>)(2<i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> – 1) = 2<i>x</i> – 1.

При помощи метода неопределенных коэффициентов найдите такие линейные функции <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>), чтобы выполнялось равенство

<i>P</i>(<i>x</i>)(<i>x</i>² – 3<i>x</i> + 2) + <i>Q</i>(<i>x</i>)(<i>x</i>² + <i>x</i> + 1) = 21.

Найдите такие многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>), что  (<i>x</i> + 1)<i>P</i>(<i>x</i>) + (<i>x</i>⁴ + 1)<i>Q</i>(<i>x</i>) = 1.

При каком положительном значении <i>p</i> уравнения  3<i>x</i>² – 4<i>px</i> + 9 = 0  и  <i>x</i>² – 2<i>px</i> + 5 = 0  имеют общий корень?

Докажите, что из равенства  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>T</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  следует соотношение  (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>)) = (<i>Q</i>(<i>x</i>), <i>R</i>(<i>x</i>)).

Докажите, что многочлен  <i>a</i>³(<i>b</i>² – <i>c</i>²) + <i>b</i>³(<i>c</i>² – <i>a</i>²) + <i>c</i>³(<i>a</i>² – <i>b</i>²)  делится на  (<i>b – c</i>)(<i>c – a</i>)(<i>a – b</i>).

При каких <i>a</i> многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>³<i>x</i>⁵ + (1 – <i>a</i>)<i>x</i>⁴ + (1 + <i>a</i>³)<i>x</i>² + (1 – 3<i>a</i>)<i>x</i> – <i>a</i>³  делится на  <i>x</i> – 1?

При каких <i>p</i> и <i>q</i> двучлен  <i>x</i>⁴ + 1  делится на  <i>x</i>² + <i>px + q</i>?

При каких значениях параметра <i>a</i> многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ</i> + <i>ax</i>^<i>n</i>–2  (<i>n</i> ≥ 2)  делится на  <i>x</i> – 2 ?

Один из корней уравнения  <i>x</i>³ – 6<i>x</i>² + <i>ax</i> – 6 = 0  равен 3. Решите уравнение.

При каких <i>a</i> и <i>b</i> многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = (<i>a + b</i>)<i>x</i>⁵ + <i>abx</i>² + 1  делится на  <i>x</i>² – 3<i>x</i> + 2?

Пусть  <i>P</i>(<i>x</i>) = (2<i>x</i>² – 2<i>x</i> + 1)¹⁷(3<i>x</i>² – 3<i>x</i> + 1)¹⁷.  Найдите

  a) сумму коэффициентов этого многочлена;

  б) суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях <i>x</i>.

Докажите, что многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i> + 1)⁶ – <i>x</i>⁶ – 2<i>x</i> – 1  делится на  <i>x</i>(<i>x</i> + 1)(2<i>x</i> + 1).

Найдите остаток от деления многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁸¹ + <i>x</i>²⁷ + <i>x</i>⁹ + <i>x</i>³ + <i>x</i>  на

  a)  <i>x</i> – 1;

  б)  <i>x</i>² – 1.

При каком значении <i>a</i> многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>¹⁰⁰⁰ + <i>ax</i>² + 9  делится на  <i>x</i> + 1?

Найдите остаток от деления многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁵ – 17<i>x</i> + 1  на  <i>x</i> + 2.

Разделите многочлены с остатком:

  а)  <i>x</i>⁴ – 4<i>x</i>³ + 6<i>x</i>² – 3<i>x</i> + 1  на  <i>x</i>² – <i>x</i> + 1;

  б)  2<i>x</i>³ + 2<i>x</i>² + <i>x</i> + 6  на  <i>x</i>² + 2<i>x</i> + 1;

  в)  <i>x</i>⁴ + 1  на  <i>x</i>⁵ + 1.

Пусть многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ + a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀&nbsp имеет корни &nbsp<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>,&nbsp то есть &nbsp<i>P</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i> – <i>x</i>₁)(<i>x</i> – <i>x</i>₂)...(<i>x – x_n</i>).&nbsp Рассмотрим многочлен

<i>...

Пусть  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂,..., <i>x_n</i>  – корни уравнения  <i>a_nxⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀ = 0.  Какие корни будут у уравнений

  а)  <i>a</i>₀<i>xⁿ</i> + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x + a_n</i> = 0;

  б)  <i>a_nx</i>^2<i>n</i> + ... + <i>a</i>₁<i>x</i>² + <i>a</i>₀...

Докажите, что остаток от деления многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) на  <i>x – c</i>  равен <i>P</i>(<i>c</i>).