Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства для элементов треугольника» для 4-11 класса - сложность 3 с решениями

Окружность <i>S</i>₁касается сторон <i>AC</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>, окружность <i>S</i>₂касается сторон <i>BC</i>и <i>AB</i>, кроме того, <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются друг друга внешним образом. Докажите, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса вписанной окружности <i>S</i>.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>так, что прямые <i>AX</i>,<i>BY</i>,<i>CZ</i>пересекаются в одной точке <i>O</i>. Докажите, что из отношений <i>OA</i>:<i>OX</i>,<i>OB</i>:<i>OY</i>,<i>OC</i>:<i>OZ</i>по крайней мере одно не больше 2 и одно не меньше 2.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены биссектрисы <i>AK</i>и <i>CM</i>. Докажите, что если <i>AB</i>><i>BC</i>, то <i>AM</i>><i>MK</i>><i>KC</i>.

На продолжении наибольшей стороны <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>за точку <i>C</i>взята точка <i>D</i>так, что <i>CD</i>=<i>CB</i>. Докажите, что угол <i>ABD</i>не острый.

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<i>AO</i>sin <i>BOC</i>+<i>BO</i>sin <i>AOC</i>+<i>CO</i>sin <i>AOB</i>$\leq$<i>p</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>стороны равны <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>; соответственные углы (в радианах) равны $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{a\alpha +b\beta +c\gamma }{a+b+c}}$ < $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$. </div>

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>биссектриса <i>AD</i>, медиана <i>BM</i>и высота <i>CH</i>пересекаются в одной точке. В каких пределах может изменяться величина угла <i>A</i>?

Докажите, что треугольник<i>ABC</i>остроугольный тогда и только тогда, когда на его сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>можно выбрать такие внутренние точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, что <i>AA</i>₁=<i>BB</i>₁=<i>CC</i>₁.

Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда <i>p</i>> 2<i>R</i>+<i>r</i>.

Докажите, что треугольник со сторонами <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>остроугольный тогда и только тогда, когда <i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²> 8<i>R</i>².

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Докажите, что периметр треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁не превосходит половины периметра треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что если в остроугольном треугольнике <i>h</i>_a=<i>l</i>_b=<i>m</i>_c, то этот треугольник равносторонний.

Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то <i>m</i>_a+<i>m</i>_b+<i>m</i>_c$\geq$4<i>R</i>.

Докажите, что для остроугольного треугольника<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{l_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_c}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \sqrt{2}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)$. </div>

Докажите, что для остроугольного треугольника<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{m_a}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{m_b}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{m_c}{h_c}}$ $\displaystyle \leq$ 1 + $\displaystyle {\frac{R}{r}}$. </div>

<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>c</i>/<i>r</i>$\geq$2(1 +$\sqrt{2}$).

Докажите, что для прямоугольного треугольника0, 4 <<i>r</i>/<i>h</i>< 0, 5, где <i>h</i> — высота, опущенная из вершины прямого угла.

Внутри сектора <i>AOB</i>круга радиуса <i>R</i>=<i>AO</i>=<i>BO</i>лежит отрезок <i>MN</i>. Докажите, что <i>MN</i>$\leq$<i>R</i>или <i>MN</i>$\leq$<i>AB</i>. (Предполагается, что $\angle$<i>AOB</i>< 180^<tt>o</tt>.)

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>наибольшая из высот <i>AH</i>равна медиане <i>BM</i>. Докажите, что $\angle$<i>B</i>$\leq$60^<tt>o</tt>.

Пусть <i>ABCD</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ — два выпуклых четырехугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если $\angle$<i>A</i>>$\angle$<i>A</i>₁, то $\angle$<i>B</i><$\angle$<i>B</i>₁,$\angle$<i>C</i>>$\angle$<i>C</i>₁,$\angle$<i>D</i><$\angle$<i>D</i>₁.

Докажите, что:

  а)   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/57463/problem_57463_img_2.gif">   б)   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/57463/problem_57463_img_3.gif">

Пусть $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ — углы остроугольного треугольника. Докажите, что если $\alpha$<$\beta$<$\gamma$, то sin 2$\alpha$> sin 2$\beta$> sin 2$\gamma$.

Докажите, что если <i>a</i>+<i>b</i>< 3<i>c</i>, то <i>tg</i>($\alpha$/2)<i>tg</i>($\beta$/2) < 1/2.

а) cos$\alpha$cos$\beta$+ cos$\beta$cos$\gamma$+ cos$\gamma$cos$\alpha$$\leq$3/4.

а) cos²$\alpha$+ cos²$\beta$+ cos²$\gamma$$\geq$3/4. б) Для тупоугольного треугольника<div align="CENTER"> cos²$\displaystyle \alpha$ + cos²$\displaystyle \beta$ + cos²$\displaystyle \gamma$ > 1. </div>