Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства для элементов треугольника» для 5-9 класса - сложность 1-2 с решениями
глава 10. Неравенства для элементов треугольника
НазадЧерез вершину <i>A</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>с основанием <i>AC</i>проведена окружность, касающаяся стороны <i>BC</i>в точке <i>M</i>и пересекающая сторону <i>AB</i>в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>AN</i>><i>CM</i>.
Медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны. Докажите, что <i>ctgA</i>+<i>ctgB</i>$\geq$2/3.
В треугольнике <i>ABC</i>сторона <i>c</i>наибольшая, а <i>a</i>наименьшая. Докажите, что <i>l</i><sub>c</sub>$\leq$<i>h</i><sub>a</sub>.
Докажите, что если треугольник <i>ABC</i>лежит внутри треугольника <i>A'B'C'</i>, то <i>r</i><sub>ABC</sub><<i>r</i><sub>A'B'C'</sub>.
Через точку <i>O</i>пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая его стороны в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>NO</i>$\leq$2<i>MO</i>.
<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>a</i>+<i>b</i><<i>c</i>+<i>h</i><sub>c</sub>.
<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>c</i><sup>n</sup>><i>a</i><sup>n</sup>+<i>b</i><sup>n</sup>при <i>n</i>> 2.
В угол с вершиной <i>A</i> вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках <i>B</i> и <i>C</i>. В области, ограниченной отрезками <i>AB, AC</i> и меньшей дугой <i>BC</i>, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает <i>AB</i>.
а) Внутри треугольника <i>ABC</i>расположен отрезок <i>MN</i>. Докажите, что длина <i>MN</i>не превосходит наибольшей стороны треугольника. б) Внутри выпуклого многоугольника расположен отрезок <i>MN</i>. Докажите, что длина <i>MN</i>не превосходит наибольшей стороны или наибольшей диагонали этого многоугольника.
Докажите, что в треугольнике угол <i>A</i>острый тогда и только тогда, когда <i>m</i><sub>a</sub>><i>a</i>/2.
Докажите, что $\angle$<i>ABC</i><$\angle$<i>BAC</i>тогда и только тогда, когда <i>AC</i><<i>BC</i>, т. е. против большего угла треугольника лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.
Докажите, чтоsin($\gamma$/2)$\leq$<i>c</i>/(<i>a</i>+<i>b</i>).
Докажите, что1 - sin($\alpha$/2)$\geq$2 sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2).
Докажите, что <i>rr</i><sub>c</sub>$\leq$<i>c</i><sup>2</sup>/4.
Докажите, что ${\frac{9r}{2S}}$$\leq$${\frac{1}{a}}$+${\frac{1}{b}}$+${\frac{1}{c}}$$\leq$${\frac{9R}{4S}}$.
Докажите, что <i>h</i><sub>a</sub>+<i>h</i><sub>b</sub>+<i>h</i><sub>c</sub>$\geq$9<i>r</i>.
Докажите, что ${\frac{1}{2r}}$<${\frac{1}{h_a}}$+${\frac{1}{h_b}}$<${\frac{1}{r}}$.
В треугольнике <i>ABC</i>высота <i>AM</i>не меньше <i>BC</i>, а высота <i>BH</i>не меньше <i>AC</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
Две высоты треугольника больше 1. Докажите, что его площадь больше 1/2.
Докажите, что в любом треугольнике сумма длин высот меньше периметра.
Периметры треугольников <i>ABM</i>,<i>BCM</i>и <i>ACM</i>, где <i>M</i> — точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>, равны. Докажите, что треугольник <i>ABC</i>правильный.
Медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что если четырехугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>MB</i><sub>1</sub><i>C</i>описанный, то <i>AC</i>=<i>BC</i>.
Докажите, что если <i>a</i> > <i>b</i>, то <i>m</i><sub>a</sub><<i>m</i><sub>b</sub>.