Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» для 8 класса - сложность 2 с решениями

Две окружности с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Через точку <i>A</i>проведена прямая, пересекающая первую окружность в точке <i>M</i>₁, а вторую в точке <i>M</i>₂. Докажите, что $\angle$<i>BO</i>₁<i>M</i>₁=$\angle$<i>BO</i>₂<i>M</i>₂.

Хорда <i>AB</i>разбивает окружность <i>S</i>на две дуги. Окружность <i>S</i>₁касается хорды <i>AB</i>в точке <i>M</i>и одной из дуг в точке <i>N</i>. Докажите, что: а) прямая <i>MN</i>проходит через середину <i>P</i>второй дуги; б) длина касательной <i>PQ</i>к окружности <i>S</i>₁равна <i>PA</i>.

Точки <i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности с диаметром <i>AB</i>. Прямые <i>AC</i>и <i>BD</i>, <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что <i>AB</i>$\perp$<i>PQ</i>.

Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности с центром <i>O</i>. Через точку <i>X</i>отрезка <i>BC</i>проведена прямая <i>KL</i>, перпендикулярная <i>XO</i>(точки <i>K</i>и <i>L</i>лежат на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>). Докажите, что <i>KX</i>=<i>XL</i>.

Радиусы окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающихся в точке <i>A</i>, равны <i>R</i>и <i>r</i>(<i>R</i>><i>r</i>). Найдите длину касательной, проведенной к окружности <i>S</i>₂из точки <i>B</i>окружности <i>S</i>₁, если известно, что <i>AB</i>=<i>a</i>. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания.)

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются окружности <i>S</i>внутренним образом в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем одна из точек пересечения окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂лежит на отрезке <i>AB</i>. Докажите, что сумма радиусов окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂равна радиусу окружности <i>S</i>.

Две касающиеся окружности с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂касаются внутренним образом окружности радиуса <i>R</i>с центром <i>O</i>. Найдите периметр треугольника <i>OO</i>₁<i>O</i>₂.

Три окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃попарно касаются друг друга в трех различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂с двумя другими точками касания, пересекают окружность <i>S</i>₃в точках, являющихся концами ее диаметра.

В параллелограмме <i>ABCD</i>диагональ <i>AC</i>больше диагонали <i>BD</i>; <i>M</i> — такая точка диагонали <i>AC</i>, что четырехугольник <i>BCDM</i>вписанный. Докажите, что прямая <i>BD</i>является общей касательной к описанным окружностям треугольников <i>ABM</i>и <i>ADM</i>.

Через точку <i>P</i>, лежащую на общей хорде <i>AB</i>двух пересекающихся окружностей, проведены хорда <i>KM</i>первой окружности и хорда <i>LN</i>второй окружности. Докажите, что четырехугольник <i>KLMN</i>вписанный.

На основании <i>AB</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>E</i>, и в треугольники <i>ACE</i>и <i>ECB</i>вписаны окружности, касающиеся отрезка <i>CE</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Найдите длину отрезка <i>MN</i>, если известны длины отрезков <i>AE</i>и <i>BE</i>.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i>касается стороны <i>BC</i>в точке <i>K</i>, а вневписанная — в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>CK</i>=<i>BL</i>= (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон треугольника.

Прямые <i>PA</i>и <i>PB</i>касаются окружности с центром <i>O</i>(<i>A</i>и <i>B</i> — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки <i>PA</i>и <i>PB</i>в точках <i>X</i>и <i>Y</i>. Докажите, что величина угла <i>XOY</i>не зависит от выбора третьей касательной.

Две окружности радиусов <i>R</i>и <i>r</i>касаются внешним образом (т. е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найдите длину общей касательной к этим окружностям.

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных "луночек" равна площади треугольника.<img src="/storage/problem-media/54505/problem_54505_img_2.gif">

Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.