Олимпиадные задачи из источника «параграф 13. Точка Лемуана» для 4-9 класса - сложность 5 с решениями

Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами соответствующих высот, пересекаются в точке Лемуана.

Прямые <i>AK</i>,<i>BK</i>и <i>CK</i>, где <i>K</i> — точка Лемуана треугольника <i>ABC</i>, пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что <i>K</i> — точка Лемуана треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точки Лемуана <i>K</i>треугольника <i>ABC</i>на стороны <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>. Докажите, что медиана <i>AM</i>треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точки Лемуана <i>K</i>на стороны треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что <i>K</i> — точка пересечения медиан треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

а) Через точку Лемуана<i>K</i>проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (<i>первая окружность Лемуана</i>). б) Через точку Лемуана<i>K</i>проведены прямые, антипараллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (<i>вторая окружность Лемуана</i>).

Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой<i>KO</i>, где<i>K</i>— точка Лемуана,<i>O</i>— центр описанной окружности.