Олимпиадные задачи из источника «параграф 13. Точка Лемуана» для 5-10 класса - сложность 3-4 с решениями

Точки<i>A</i>₁и<i>A</i>₂,<i>B</i>₁и<i>B</i>₂,<i>C</i>₁и<i>C</i>₂лежат на сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>. а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника<i>ABC</i>с продолжениями сторон треугольника<i>A'B'C'</i>, полученного из треугольника<i>ABC</i>при гомотетии с центром в точке Лемуана<i>K</i>, то точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₂,<i>B</i>&...

Через точку <i>X</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда <i>X</i> — точка Лемуана.

Докажите, что точка Лемуана треугольника <i>ABC</i>с прямым углом <i>C</i>является серединой высоты <i>CH</i>.

Биссектрисы внешнего и внутреннего углов при вершине <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>пересекают прямую <i>BC</i>в точках <i>D</i>и <i>E</i>. Окружность с диаметром <i>DE</i>пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>и <i>X</i>. Докажите, что <i>AX</i> — симедиана треугольника <i>ABC</i>.

Окружность <i>S</i>₁проходит через точки <i>A</i>и <i>B</i>и касается прямой <i>AC</i>, окружность <i>S</i>₂проходит через точки <i>A</i>и <i>C</i>и касается прямой <i>AB</i>. Докажите, что общая хорда этих окружностей является симедианой треугольника <i>ABC</i>.

Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>в точках <i>B</i>и <i>C</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>AP</i>содержит симедиану <i>AS</i>.

Касательная в точке <i>B</i>к описанной окружности <i>S</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает прямую <i>AC</i>в точке <i>K</i>. Из точки <i>K</i>проведена вторая касательная <i>KD</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>BD</i> — симедиана треугольника <i>ABC</i>.