Олимпиадные задачи из источника «1959 год» - сложность 1-2 с решениями
Два концентрических круга поделены на 2<i>k</i>равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.
Пусть<i>ABCD</i>— пространственный четырёхугольник, точки<i>K</i><sub>1</sub>и<i>K</i><sub>2</sub>делят соответственно стороны<i>AB</i>и<i>DC</i>в отношении$\alpha$, точки<i>K</i><sub>3</sub>и<i>K</i><sub>4</sub>делят соответственно стороны<i>BC</i>и<i>AD</i>в отношении$\beta$. Доказать, что отрезки<i>K</i><sub>1</sub><i>K</i><sub>2</sub>и<i>K</i><sub>3</sub><i>K</i><sub>4</sub>пересекаются.
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
Доказать, что не более одной вершины тетраэдра обладает тем свойством, что сумма любых двух плоских углов при этой вершине больше180<sup><tt>o</tt></sup>.
Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.
Даны два пересекающихся отрезка длины 1,<i>AB</i>и<i>CD</i>. Доказать, что по крайней мере одна из сторон четырёхугольника<i>ABCD</i>не меньше${\frac{\sqrt{2}}{2}}$.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Построим треугольник, стороны которого касаются вневписанных окружностей этого треугольника. Зная углы исходного треугольника, найти углы построенного.
Даны 12 чисел,<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,...<i>a</i><sub>12</sub>, причём имеют место следующие неравенства:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i><sub>2</sub>(<i>a</i><sub>1</sub> - <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub>)</td> <td align="CENTER"><</td> <td align="LEFT">0</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i><sub>3</sub>(<i>a</i><sub>2</sub> - <i>a</i&...
Дан треугольник <i>ABC</i>. Найти такую точку, что если её симметрично отразить от любой стороны треугольника, то она попадает на описанную окружность.
Имеется два набора чисел <i>a</i><sub>1</sub> > <i>a</i><sub>2</sub> > ... > <i>a<sub>n</sub></i> и <i>b</i><sub>1</sub> > <i>b</i><sub>2</sub> > ... > <i>b<sub>n</sub></i>. Доказать, что <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>n</sub> > a</i><sub>1</sub><i>b<sub>n</sub> + a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>n</i>–1</sub> + ... + <i>a&...
В квадратную таблицу <i>N×N</i> записаны все целые числа по следующему закону: 1 стоит на любом месте, 2 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 1, 3 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 2, и так далее. На сколько сумма чисел в столбце, содержащем <i>N</i>², отличается от суммы чисел в строке, содержащей 1.
Существует ли тетраэдр, каждое ребро которого являлось бы стороной плоского тупого угла?
Доказать, что не существует таких натуральных чисел <i>x, y, z, k</i>, что <i>x<sup>k</sup> + y<sup>k</sup> = z<sup>k</sup></i> при условии <i>x < k, y < k</i>.
Доказать, что не существует тетраэдра, в котором каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла.
Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть <i>P<sub>k</sub></i> – число всех непересекающихся ломаных длины <i>k</i>, начинающихся в точке <i>O</i> – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что <i>P<sub>k</sub></i>·3<sup>–<i>k</i></sup> < 2 для любого <i>k</i>.
Имеется 1959 положительных чисел<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>...,<i>a</i><sub>1959</sub>, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.
Дан выпуклый четырёхугольник<i>ABCD</i>. Середины сторон<i>AB</i>и<i>CD</i>обозначим соответственно через<i>K</i>и<i>M</i>, точку пересечения<i>AM</i>и<i>DK</i>— через<i>O</i>, точку пересечения<i>BM</i>и<i>CK</i>— через<i>P</i>. Доказать, что площадь четырёхугольника<i>MOKP</i>равна сумме площадей треугольников<i>BPC</i>и<i>AOD</i>.
Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?
Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкостью2 -$\sqrt{2}$и$\sqrt{2}$, перелить из одной в другую ровно 1 литр?
Доказать, что число2<sup>2<sup>1959</sup></sup>– 1 делится на 3.
Пусть<i>a</i>и<i>b</i>— целые числа. Напишем число<i>b</i>справа от числа<i>a</i>. Если число<i>a</i>чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число<i>a</i><sub>1</sub>напишем под числом<i>a</i>. Справа от числа<i>a</i><sub>1</sub>напишем число 2<i>b</i>. С числом<i>a</i><sub>1</sub>проделаем ту же операцию, что и с числом<i>a</i>, и, получив число<i>a</i><sub>2</sub>, напишем его под числом<i>a</i><sub>1</sub>. Справа от числа<i>a</i><sub>2</sub>напишем число 4<i>b&l...