Олимпиадные задачи из источника «2003 год» для 10 класса
В окружность вписан прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>. Пусть <i>K</i> – середина дуги <i>BC</i>, не содержащей точку <i>A, N</i> – середина отрезка <i>AC, M</i> – точка пересечения луча <i>KN</i> с окружностью. В точках <i>A</i> и <i>C</i> проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке <i>E</i>. Докажите, что
∠<i>EMK</i> = 90°.
Дано равенство (<i>a</i><sup><i>m</i><sub>1</sub></sup> – 1)...(<i>a</i><sup><i>m</i><sub><i>n</i></sub></sup> – 1) = (<i>a</i><sup><i>k</i><sub>1</sub></sup> + 1)...(<i>a</i><sup><i>k</i><sub><i>l</i></sub></sup> + 1), где <i>a, n, l</i> и все показатели степени – натуральные числа, причём <i>a</i> > 1.
Найдите все возможные значения числа <i>a</i>.
На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живёт по 20 борцов. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня <i>А</i> считается сильнее деревни <i>Б</i>, если хотя бы <i>k</i> поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни <i>А</i>. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь <i>k</i>? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)
У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?
По периметру круглого торта диаметром <i>n</i>/<font face="Symbol">p</font> метров расположены <i>n</i> вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на <i>n</i> равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., такая, что <i>P</i>(<i>a</i><sub>1</sub>) = 0, <i>P</i>(<i>a</i><sub>2</sub>) = <i>a</i><sub>1</sub>, <i>P</i>(<i>a</i><sub>3</sub>) = <i>a</i><sub>2</sub> и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... различны.
Для положительных чисел <i>x, y, z</i> выполнено равенство <sup><i>x</i>²</sup>/<sub><i>y</i></sub> + <sup><i>y</i>²</sup>/<sub><i>z</i></sub> + <sup><i>z</i>²</sup>/<sub><i>x</i></sub> = <sup><i>x</i>²</sup>/<sub><i>z</i></sub> + <sup><i>y</i>²</sup>/<sub><i>x</i></sub> + <sup><i>z</i>²</sup>/<sub><i>y</i></sub>. Докажите, что хотя бы два из чисел <i>x, y, z</i> равны между собой.
Дана бесконечная последовательность многочленов <i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), <i>P</i><sub>2</sub>(<i>x</i>), ... . Всегда ли существует конечный набор функций <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), <i>f</i><sub>2</sub>(<i>x</i>), ..., <i>f</i><sub><i>N</i></sub>(<i>x</i>), композициями которых можно записать любой из них (например, <i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) = <i>f</i><sub>2</sub>(<i>f</i><sub>1</sub>(<i>f</i><sub>2</sub>(<i>x</i>))))?
В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... такова, что <i>P</i>(<i>a</i><sub>1</sub>)= 0, <i>P</i>(<i>a</i><sub>2</sub>) = <i>a</i><sub>1</sub>, <i>P</i>(<i>a</i><sub>3</sub>) = <i>a</i><sub>2</sub> и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь <i>P</i>(<i>x</i>)?
По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.
Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, что у каждого из уравнений <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0, <i>ax</i> + <i>bx – c</i> = 0, <i>ax</i>² – <i>bx + c</i> = 0, <i>ax</i>² – <i>bx – c</i> = 0 оба корня – целые?
В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель сказал им: "Я дам вам вечер поговорить друг с другом, а потом рассажу по отдельным камерам, и общаться вы больше не сможете. Иногда я буду одного из вас отводить в комнату, в которой есть лампа (вначале она выключена). Уходя из комнаты, вы можете оставить лампу как включенной, так и выключенной. Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что вы все уже побывали в комнате, и будет прав, то я всех вас выпущу на свободу. А если неправ - скормлю всех крокодилам. И не волнуйтесь, что кого-нибудь забудут - если будете молчать, то все побываете в комнате, и ни для кого никакое посещение комнаты не станет последним." Придумайте стратегию, гарантирующую узникам освобождение.
Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рисунке - одного радиуса, треугольник - равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника - диаметр окружности). Какой из головастиков имеет бо'льшую площадь? <img src="/storage/problem-media/105150/problem_105150_img_2.gif">
В стране 15 городов, некоторые из них соединены авиалиниями, принадлежащими трём авиакомпаниям. Известно, что даже если любая из авиакомпаний прекратит полеты, можно будет добраться из каждого города в любой другой (возможно, с пересадками), пользуясь рейсами оставшихся двух компаний. Какое наименьшее количество авиалиний может быть в стране?