Олимпиадные задачи из источника «2017/2018» для 9 класса - сложность 2 с решениями
Окружность касается сторон <i>AB, BC, CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> соответственно.
Докажите, что прямая <i>KL</i> делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины <i>C</i> на <i>AB</i>.
На наибольшей стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>P</i> и <i>Q</i>, что <i>AQ = AC, BP = BC</i>.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>PQC</i> совпадает с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Найдите наименьшее значение выражения <i>а</i><sup>4</sup> – <i>а</i><sup>2</sup> – 2<i>а</i>.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>K</i> соответственно, а на стороне <i>AC</i> отмечены точки <i>E</i> и <i>M</i> так, что <i>DA + AE = KC + CM = AB</i>. Отрезки <i>DM</i> и <i>KE</i> пересекаются. Найдите угол между ними.
В остроугольном треугольнике <i>АВС</i> биссектриса <i>AN</i>, высота <i>BH</i> и прямая, перпендикулярная стороне <i>АВ</i> и проходящая через ее середину, пересекаются в одной точке. Найдите угол <i>ВАС</i>.
Прямоугольник разбили двумя прямыми, параллельными его сторонам, на четыре прямоугольника. Один из них оказался квадратом, а периметры прямоугольников, соседних с ним, равны 20 см и 16 см. Найдите площадь исходного прямоугольника.
В следующих многозначных числах цифры заменены буквами (одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные цифры – разными буквами). Оказалось, что ДЕВЯНОСТО делится на 90, а ДЕВЯТКА делится на 9. Может ли СОТКА делиться на 9?
При каких целых значениях <i>m</i> число <i>Р</i> = 1 + 2<i>m</i> + 3<i>m</i><sup>2</sup> + 4<i>m</i><sup>3</sup> + 5<i>m</i><sup>4</sup> + 4<i>m</i><sup>5</sup> + 3<i>m</i><sup>6</sup> + 2<i>m</i><sup>7</sup> + <i>m</i><sup>8</sup> является квадратом целого числа?
Можно ли заполнить таблицу 3×3 различными натуральными числами так, чтобы суммы в строках были равны между собой и произведения в столбцах также были равны между собой (но суммы не обязаны равняться произведениям).
На стороне <i>AB</i> квадрата <i>ABCD</i> отмечена точка <i>K</i>, а на стороне <i>BC</i> – точка <i>L</i> так, что <i>KB = LC</i>. Отрезки <i>AL</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что отрезки <i>DP</i> и <i>KL</i> перпендикулярны.
Игорь записал на каждой из трёх карточек по одной цифре, отличной от нуля. Катя составила из них все возможные трёхзначные числа. Может ли сумма этих чисел равняться 2018?
Про четырехугольник известно, что существуют две прямые, каждая из которых разбивает его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Обязательно ли он является квадратом?
Сравните<img align="middle" src="/storage/problem-media/66366/problem_66366_img_2.png">и<img align="middle" src="/storage/problem-media/66366/problem_66366_img_3.png">.
Можно ли раздать шести детям 40 конфет так, чтобы у всех было разное количество конфет и у каждых двух вместе было менее половины всех конфет?
Из вершины прямого угла треугольника <i>ABC</i> проведена медиана <i>СМ</i>. Окружность, вписанная в треугольник <i>САМ</i>, касается <i>СМ</i> в её середине. Найдите угол <i>ВАС</i>.
За контрольную работу каждый из 25 школьников получил одну из оценок "3", "4" или "5". На сколько больше было пятёрок, чем троек, если сумма всех оценок равна 106?
Известно, что в десятичной записи числа 2<sup>29</sup> все цифры различны. Есть ли среди них цифра 0?
Число <i>p</i> – корень кубического уравнения <i>x</i>³ + <i>x</i> – 3 = 0.
Придумайте кубическое уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет число <i>p</i>².
Можно ли на числовой прямой расположить три отрезка чётной длины так, чтобы общие части каждых двух из них были отрезками нечётной длины?
Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа <i>n</i> лежит на отрезке <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66356/problem_66356_img_2.gif">
Для всех действительных <i>x</i> и <i>y</i> выполняется равенство <i>f</i>(<i>x</i>² + <i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(<i>y</i>²). Найдите <i>f</i>(–1).
Из клетчатой доски размером 8×8 выпилили восемь прямоугольников размером 2×1. После этого из оставшейся части требуется выпилить квадрат размером 2×2. Обязательно ли это удастся?
В зале стоят шесть стульев в два ряда – по три стула в каждом, один ряд ровно за другим. В зал пришли шесть человек различного роста.
Сколькими способами можно рассадить их так, чтобы каждый человек, сидящий в первом ряду, был ниже человека, сидящего за ним?
В четырёхугольнике <i>ABCD AB = ВС = m</i>, ∠<i>АВС</i> = ∠<i>АDС</i> = 120°. Найдите <i>BD</i>.
Семь грибников собрали вместе 100 грибов. Обязательно ли найдутся два грибника, собравшие вместе не менее чем 36 грибов, если количества грибов, собранных каждым, попарно различаются?