Олимпиадные задачи из источника «Московская устная олимпиада по геометрии» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Внутри окружности с центром <i>O</i> отмечены точки <i>A</i> и <i>B</i> так, что  <i>OA = OB</i>.

Постройте на окружности точку <i>M</i>, для которой сумма расстояний до точек <i>A</i> и <i>B</i> наименьшая среди всех возможных.

Внутри выпуклого многогранника выбрана точка <i>P</i> и несколько прямых  <i>l</i>₁, ..., <i>l_n</i>,  проходящих через <i>P</i> и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых  <i>l</i>₁, ..., <i>l_n</i>,  которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.

<i>H</i> – точка пересечения высот <i>AA'</i> и <i>BB'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, пересекает эти высоты в точках <i>D</i> и <i>E</i>, а сторону <i>AB</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>DEH</i> лежит на отрезке <i>CP</i>.

В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i>:  ∠<i>A</i> = ∠<i>C</i> = 90°,  <i>AB = AE</i>,  <i>BC = CD</i>,  <i>AC</i> = 1.  Найдите площадь пятиугольника.

Даны треугольник <i>ABC</i> и произвольная точка <i>P, A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁  – вторые точки пересечения прямых <i>AP, BP</i> и <i>CP</i> с описанной окружностью треугольника <i>ABC, A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ – точки, симметричные <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ относительно прямых <i>BC</i>, <i>CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Докажите, что треугольники <i>A</i><sub>1</sub...

Bнутри треугольника <i>ABC</i> выбрана произвольная точка <i>M</i>. Докажите, что  <i>MA + MB + MC</i> ≤ max {<i>AB + BC, BC + AC, AC + AB</i>}.

B пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу.

Докажите, что суммы площадей её противоположных боковых граней равны.

Дана окружность и точка <i>P</i> внутри неё. Два произвольных перпендикулярных луча с началом в точке <i>P</i> пересекают окружность в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Tочка <i>X</i> является проекцией точки <i>P</i> на прямую <i>AB</i>, <i>Y</i> – точка пересечения касательных к окружности, проведённых через точки <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что все прямые <i>XY</i> проходят через одну и ту же точку.

B основании четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> лежит четырёхугольник <i>ABCD</i>, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке <i>P</i>, и <i>SP</i> является высотой пирамиды. Докажите, что проекции точки <i>P</i> на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.

Cередины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Oказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведённые отрезки равны.

B выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>:  <i>AC</i> ⊥ <i>BD</i>,  ∠<i>BCA</i> = 10°,  ∠<i>BDA</i> = 20°,  ∠<i>BAC</i> = 40°.  Найдите ∠<i>BDC</i>.

Докажите, что любой жесткий плоский треугольник <i>T</i> площади меньше 4 можно просунуть сквозь треугольную дырку <i>Q</i> площади 3.

Дана неравнобокая трапеция <i>ABCD</i>  (<i>AB || CD</i>).  Окружность, проходящая через точки <i>A</i> и <i>B</i>, пересекает боковые стороны трапеции в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а диагонали – в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что прямые <i>PQ, MN</i> и <i>CD</i> пересекаются в одной точке.

<i>AD</i> и <i>BE</i> — высоты треугольника <i>ABC</i>. Оказалось, что точка <i>C'</i>, симметричная вершине <i>C</i> относительно середины отрезка <i>DE</i>, лежит на стороне <i>AB</i>. Докажите, что <i>AB</i> – касательная к окружности, описанной около треугольника <i>DEC'</i>.

Есть два платка: один в форме квадрата, другой – в форме правильного треугольника, причём их периметры одинаковы.

Cуществует ли многогранник, который можно полностью оклеить этими двумя платками без наложений (платки можно сгибать, но нельзя резать)?

B треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 120°. Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно  <i>AB + AC</i>.

На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть <i>C</i>₁ – более удалённая от вершины <i>C</i> точка пересечения окружностей, построенных на медианах <i>AM</i>₁ и <i>BM</i>₂. Точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ определяются аналогично. Докажите, что прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

В остроугольном треугольнике проведены высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i> на прямую <i>AC</i>, проходит через центр вписанной окружности треугольника <i>A</i>₁<i>CB</i>₁.

Bсе ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1, а все вершины лежат на боковой поверхности (бесконечного) прямого кругового цилиндра радиуса <i>R</i>. Найдите все возможные значения <i>R</i>.

Из вершины <i>A</i> параллелограмма <i>ABCD</i> опущены высоты <i>AM</i> на <i>BC</i> и <i>AN</i> на <i>CD</i>. <i>P</i> – точка пересечения <i>BN</i> и <i>DM</i>. Докажите, что прямые <i>AP</i> и <i>MN</i> перпендикулярны.

На поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра.

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно. Описанная окружность треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ пересекает прямые <i>B</i>₁<i>A</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Докажите, что ортоцентр <i>H</i> треугольник...

На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.

Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.

Какое наибольшее количество граней n-угольной пирамиды может быть перпендикулярно основанию?

Из точки <i>A</i> к окружности ω проведена касательная <i>AD</i> и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках <i>B</i> и <i>C</i> (<i>B</i> лежит между точками <i>A</i> и <i>C</i>). Докажите, что окружность, проходящая через точки <i>C</i> и <i>D</i> и касающаяся прямой <i>BD</i>, проходит через фиксированную точку (отличную от <i>D</i>).