Олимпиадные задачи из источника «XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)» для 10 класса - сложность 3-5 с решениями
XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)
НазадНа плоскости дано множество <i>S</i>, состоящее из чётного числа точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что <i>S</i> можно разбить на два множества <i>X</i> и <i>Y</i> так, что выпуклые оболочки conv <i>X</i> и conv <i>Y</i> имеют поровну вершин.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i> и вписан в окружность Ω. Прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность ω треугольника <i>PIQ</i> перпендикулярна Ω.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB', CC'</i>. Через <i>A</i> и <i>C'</i> проведены две окружности, касающиеся <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>.
Докажите, что точки <i>A, B', P, Q</i> лежат на одной окружности.
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник <i>ABC</i> и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки <i>A′, B′, C′</i>, что лучи <i>B′C′, C′A′, A′B′</i> проходят через <i>A, B, C</i> соответственно.
Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть ω<sub><i>A</i></sub>, ω<sub><i>B</i></sub>, ω<sub><i>C</i></sub>, ω<sub><i>D</i></sub> – описанные окружности треугольников <i>BCD, ACD, ABD, ABC</i> соответственно. Обозначим через <i>X<sub>A</sub></i> произведение степени точки <i>A</i> относительно ω<i>A</i> на площадь треугольника <i>BCD</i>. Аналогично определим <i>X<sub>B</sub>, X<sub>C</sub>, X<sub>D</sub></i>. Докажите, что <i>X<sub>A</sub> + X<sub>B</sub> + X<sub>C</sub> + X<sub>D</sub></i> = 0.
Докажите, что в остроугольном треугольнике расстояние от любой вершины до соответствующего центра вневписанной окружности меньше чем сумма двух наибольших сторон треугольника.
Пусть <i>AK</i> и <i>BL</i> – высоты остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а Ω – вневписанная окружность <i>ABC</i>, касающаяся стороны <i>AB</i>. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника <i>CKL</i> и окружности Ω пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что <i>AP = BQ</i>.
На каждой из двух параллельных прямых <i>a</i> и <i>b</i> отметили по 50 точек. Каково наибольшее возможное количество остроугольных треугольников с вершинами в этих точках?
Пусть <i>BH<sub>b</sub>, CH<sub>c</sub></i> – высоты треугольника <i>ABC</i>. Прямая <i>H<sub>b</sub>H<sub>c</sub></i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> симметричны <i>X</i> и <i>Y</i> относительно <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно. Докажите, что <i>PQ || BC</i>.
Точка <i>D</i> лежит на основании <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>M</i> и <i>K</i> – на его боковых сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно, причём <i>AMDK</i> – параллелограмм. Прямые <i>MK</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>L</i>. Перпендикуляр к <i>BC</i>, восставленный из точки <i>D</i>, пересекает прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что окружность с центром <i>L</i>, проходящая через <i>D</i>, касается описанной окружности треугольника <i>AXY</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> углы <i>B</i> и <i>C</i> больше 60°. Точки <i>P, Q</i> на сторонах <i>AB, AC</i> таковы, что <i>A, P, Q</i> и ортоцентр треугольника <i>H</i> лежат на одной окружности; <i>K</i> – середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что ∠<i>BKC</i> > 90°.
Даны два тетраэдра. Ни у одного из них нет двух подобных граней, но каждая грань первого тетраэдра подобна какой-то грани второго.
Обязательно ли эти тетраэдры подобны?
В треугольнике <i>ABC</i> прямая <i>m</i> касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр <i>I</i> окружности ω и перпендикулярные <i>AI, BI, CI</i>, пересекают прямую <i>m</i> в точках <i>A', B', C'</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA', BB', CC'</i> пересекаются в одной точке.
На диагонали <i>AC</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> взяли произвольную точку <i>P</i> и из неё опустили перпендикуляры <i>PK, PL, PM, PN, PO</i> на прямые <i>AB, BC, CD, DA, BD</i> соответственно. Докажите, что расстояние от <i>P</i> до <i>KN</i> равно расстоянию от <i>O</i> до <i>ML</i>.
Выпуклый шестиугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>6</sub> описан около окружности ω радиуса 1. Рассмотрим три отрезка, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольника. Для какого наибольшего <i>r</i> можно утверждать, что хотя бы один из этих отрезков не короче <i>r</i>?
Даны прямоугольный треугольник <i>ABC</i> и две взаимно перпендикулярные прямые <i>x</i> и <i>y</i>, проходящие через вершину прямого угла <i>A</i>. Для точки <i>X</i>, движущейся по прямой <i>x</i>, определим <i>y<sub>b</sub></i> как образ прямой <i>y</i> при симметрии относительно <i>XB</i>, а <i>y<sub>c</sub></i> – как образ прямой <i>y</i> при симметрии относительно <i>XC</i>. Пусть <i>y<sub>b</sub></i> и <i>y<sub>с</sub></i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Найдите геометрическое место точек <i>Y</i> (для несовпадающих <i>y<sub>b</sub&g...
В треугольнике <i>ABC</i> провели чевианы <i>AA', BB'</i> и <i>CC'</i>, которые пересекаются в точке <i>P</i>. Описанная окружность треугольника <i>PA'B'</i> пересекает прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, а описанные окружности треугольников <i>PC'B'</i> и <i>PA'C'</i> повторно пересекают <i>AC</i> и <i>BC</i> соответственно в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Проведём через середины отрезков <i>MN</i> и <i>KL</i> прямую <i>c</i>. Прямые <i>a</i> и <i>b</i> определяются аналогич...
Пусть <i>L</i> – точка пересечения симедиан остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а <i>BH</i> – его высота. Известно, что ∠<i>ALH</i> = 180° – 2∠<i>A</i>.
Докажите, что ∠<i>CLH</i> = 180° – 2∠<i>C</i>.
Внутри остроугольного треугольника <i>ABC</i> постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку <i>K</i>, что ∠<i>KBA</i> = 2∠<i>KAB</i> и ∠<i>KBC</i> = 2∠<i>KCB</i>.
Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>B</i> пересекаются в точке <i>D</i>. Окружность, проходящая через проекции <i>D</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i>, повторно пересекает <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Аналогично строятся точки <i>A', B'</i>. Докажите, что прямые <i>AA', BB', CC'</i> пересекаются в одной точке.
В остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписана окружность с центром <i>I</i>, касающаяся сторон <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> в точках <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно. В четырёхугольники <i>ADIF</i> и <i>BDIE</i> вписаны окружности с центрами <i>J</i><sub>1</sub> и <i>J</i><sub>2</sub> соответственно. Прямые <i>J</i><sub>1</sub><i>J</i><sub>2</sub> и <i>AB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите. что <i>CD</i> ⊥ <i>IM</i>.
Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Третья окружность касается их обеих и пересекает прямую <i>AB</i> в точках <i>C</i> и <i>D</i>.
Докажите, что касательные к ней в этих точках параллельны общим касательным к двум первым окружностям.
<i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты треугольника <i>ABC, B</i><sub>0</sub> – точка пересечения <i>BB</i><sub>1</sub> и описанной окружности Ω, <i>Q</i> – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>0</sub>. Докажите, что <i>BQ</i> – симедиана треугольника <i>ABC</i>.
На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно так, что ∠<i>AKD</i> = ∠<i>CLD</i>.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>BKL</i> равноудален от <i>A</i> и <i>C</i>.