Олимпиадные задачи из источника «35 турнир (2013/2014 год)» - сложность 3 с решениями

Существуют ли такие две функции  <i>f</i> и <i>g</i>, принимающие только целые значения, что для любого целого <i>x</i> выполнены соотношения:

  а)  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x,  g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = <i>x,   f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x,  g</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) > <i>x</i>?

  б)  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) < <i>x, g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) < <i>x</i>,   <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x,  g</i>(<i>f</i>(<i>x&...

Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?

Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает <i>вдоль окружности</i> через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₉...

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) удовлетворяет условиям:  <i>P</i>(0) = 1,  (<i>P</i>(<i>x</i>))² = 1 + <i>x + x</i>¹⁰⁰<i>Q</i>(<i>x</i>),  где <i>Q</i>(<i>x</i>) – некий многочлен.

Докажите, что коэффициент при <i>x</i>⁹⁹ в многочлене  (<i>P</i>(<i>x</i>) + 1)¹⁰⁰  равен нулю.

Каждому городу в некоторой стране присвоен индивидуальный номер. Имеется список, в котором для каждой пары номеров указано, соединены города с данными номерами железной дорогой или нет. Оказалось, что, какие ни взять два номера <i>M</i> и <i>N</i> из списка, можно так перенумеровать города, что город с номером <i>M</i> получит номер <i>N</i>, но список по-прежнему будет верным. Верно ли, что, какие ни взять два номера <i>M</i> и <i>N</i> из списка, можно так перенумеровать города, что город с номером <i>M</i> получит номер <i>N</i>, город с номером <i>N</i> получит номер <i>M</i>, но список по-прежнему будет верным?

Дан многочлен двадцатой степени с целыми коэффициентами. На плоскости отметили все точки с целыми координатами, у которых ординаты не меньше 0 и не больше 10. Какое наибольшее число отмеченных точек может лежать на графике этого многочлена?

Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по положительному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?

Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно по прямой разрезать на два меньших многоугольника с равными периметрами и

  а) равными наибольшими сторонами?

  б) равными наименьшими сторонами?

Из кубиков 1×1×1 склеен куб 3×3×3. Какое наибольшее количество кубиков можно из него выкинуть, чтобы осталась фигура с такими двумя свойствами:

  - со стороны каждой грани исходного куба фигура выглядит как квадрат 3×3 (глядя перпендикулярно этой грани, мы не увидим просвета – видны 9 кубиков фигуры);

  - переходя в фигуре от кубика к кубику через их общую грань, можно от каждого кубика добраться до любого другого?

Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по натуральному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?

На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)

Число  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64453/problem_64453_img_2.gif">  представили в виде несократимой дроби.

Докажите, что если  3<i>n</i> + 1  – простое число, то числитель получившейся дроби делится на  3<i>n</i> + 1.

В окружность вписан 101-угольник. Из каждой его вершины опустили перпендикуляр на прямую, содержащую противоположную сторону.

Докажите, что хотя бы у одного из перпендикуляров основание попадёт на сторону (а не на её продолжение).

Петя нарисовал на плоскости квадрат, разделил на 64 одинаковых квадратика и раскрасил их в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. После этого он загадал точку, находящуюся строго внутри одного из этих квадратиков. Вася может начертить на плоскости любую замкнутую ломаную без самопересечений и получить ответ на вопрос, находится ли загаданная точка строго внутри ломаной или нет. За какое наименьшее количество таких вопросов Вася может узнать, какого цвета загаданная точка – белого или чёрного?

Космический аппарат сел на неподвижный астероид, про который известно только, что он представляет собой шар или куб. Аппарат проехал по поверхности астероида в точку, симметричную начальной относительно центра астероида. Всё это время он непрерывно передавал свои пространственные координаты на космическую станцию, и там точно определили трёхмерную траекторию аппарата. Может ли этого оказаться недостаточно, чтобы отличить, по кубу или по шару ездил аппарат?

Наименьшее общее кратное натуральных чисел <i>a, b</i> будем обозначать [<i>a, b</i>]. Пусть натуральное число <i>n</i> таково, что  [<i>n, n</i> + 1] > [<i>n, n</i> + 2] > ... > [<i>n, n</i> + 35].

Докажите, что  [<i>n, n</i> + 35] > [<i>n, n</i> + 36].

На шахматной доске стоят восемь не бьющих друг друга ладей. Докажите, что можно каждую из них передвинуть ходом коня так, что они по-прежнему не будут бить друг друга. (Все восемь ладей передвигаются "одновременно", то есть если, например, две ладьи бьют друг друга ходом коня, то их можно поменять местами.)

Дан правильный треугольник <i>ABC</i> с центром <i>O</i>. Прямая, проходящая через вершину <i>C</i>, пересекает описанную окружность треугольника <i>AOB</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Докажите, что точки <i>A, O</i> и середины отрезков <i>BD, BE</i> лежат на одной окружности.

Каждое ли целое число можно записать как сумму кубов нескольких целых чисел, среди которых нет одинаковых?