Олимпиадные задачи из источника «37 турнир (2015/2016 год)» для 8-10 класса - сложность 2 с решениями

Пусть <i>M</i> – середина основания <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> отмечены соответственно точки <i>E</i> и <i>F</i> так, что  <i>AE ≠ CF</i>  и

∠<i>FMC</i> = ∠<i>MEF</i> = α.  Найдите  ∠<i>AEM</i>.

Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырёхугольников, каждый из которых вписан в окружность диаметра  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65727/problem_65727_img_2.gif">

Существуют ли такие целые числа<i>a</i>и<i>b</i>, что   а) уравнение  <i>x</i>² +<i>ax + b</i>= 0  не имеет корней, а уравнение  [<i>x</i>²] +<i>ax + b</i>= 0 имеет?   б) уравнение  <i>x</i>² + 2<i>ax + b</i>= 0  не имеет корней, а уравнение  [<i>x</i>²] + 2<i>ax + b</i>= 0  имеет?

На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до 1000000 включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа.

Точку внутри выпуклого четырёхугольника соединили со всеми вершинами и с четырьмя точками на сторонах (по одной на стороне). Четырёхугольник оказался разделён на восемь треугольников с одинаковыми радиусами описанных окружностей. Докажите, что исходный четырёхугольник вписанный.

В квадрате 10×10 все клетки левого верхнего квадрата 5×5 закрашены чёрным цветом, а остальные клетки – белым. На какое наибольшее количество многоугольников можно разрезать (по границам клеток) этот квадрат так, чтобы в каждом многоугольнике чёрных клеток было в три раза меньше, чем белых? (Многоугольники не обязаны быть равными или даже равновеликими.)

Существуют ли 2016 целых чисел, сумма и произведение которых равны 2016?

По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, и другие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчика сосед по часовой стрелке – ребёнок в синей футболке, а у каждой девочки сосед против часовой стрелки – ребёнок в красной футболке. Можно ли однозначно установить, сколько в круге мальчиков?

Все коэффициенты некоторого непостоянного многочлена целые и по модулю не превосходят 2015.

Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем ¹/₂₀₁₆.

Геометрическая прогрессия состоит из 37 натуральных чисел. Первый и последний члены прогрессии взаимно просты.

Докажите, что 19-й член прогрессии является 18-й степенью натурального числа.

Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника

  а) не больше ¾ <i>P</i>, где <i>P</i> – периметр этого треугольника;

  б) не меньше ¾ <i>p</i>, где <i>p</i> – полупериметр этого треугольника.

Из целых чисел от 1 до 100 удалили <i>k</i> чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать <i>k</i> различных чисел с суммой 100, если

  а)  <i>k</i> = 9;   б)  <i>k</i> = 8?

Будем называть клетчатый многоугольник <i>выдающимся</i>, если он не является прямоугольником и из нескольких его копий можно сложить подобный ему многоугольник. Например, уголок из трёх клеток – выдающийся многоугольник (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65461/problem_65461_img_2.gif"></div>  а) Придумайте выдающийся многоугольник из четырёх клеток.   б) При каких  <i>n</i>> 4  существует выдающийся многоугольник из<i>n</i>клеток?

Пусть <i>p</i> – простое число. Сколько существует таких натуральных <i>n</i>, что <i>pn</i> делится на  <i>p + n</i>?

Из одинаковых неравнобедренных прямоугольных треугольников составили прямоугольник (без дырок и наложений).

Обязательно ли какие-то два из этих треугольников расположены так, что образуют прямоугольник?

Верно ли, что любое натуральное число можно умножить на одно из чисел 1, 2, 3, 4 или 5 так, чтобы результат начинался на цифру 1?