Олимпиадные задачи из источника «6 турнир (1984/1985 год)» для 10 класса

  а) Квадрат разбит на прямоугольники. <i>Цепочкой</i> называется такое подмножество <i>K</i> множества этих прямоугольников, что существует сторона <i>S</i> квадрата, целиком закрытая проекциями прямоугольников из <i>K</i>, но при этом ни в какую точку <i>S</i> не проектируются внутренние точки двух прямоугольников из <i>K</i> (мы относим к прямоугольнику и его стороны). Доказать, что любые два прямоугольника разбиения входят в некоторую цепочку.   б) Аналогичная задача для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки нужно заменить сторону на ребро).

Выпуклой фигурой <i>F</i> нельзя накрыть полукруг радиуса <i>R</i>. Может ли случиться, что двумя фигурами, равными <i>F</i>, можно накрыть круг радиуса <i>R</i>?

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.

  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?

  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

а) Привести пример такого положительного <i>a</i>, что  {<i>a</i>} + {¹/_<i>a</i>} = 1.

б) Может ли такое <i>a</i> быть рациональным числом?

Найти все решения системы уравнений:   (<i>x + y</i>)³ = <i>z</i>,  (<i>y + z</i>)³ = <i>x</i>,  (<i>z + x</i>)³ = <i>y</i>.

Набор чисел  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₁₀₀  получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:

      <i>B</i>₁ = <i>A</i>₁,  <i>B</i>₂ = <i>A</i>₁ + <i>A</i>₂,  <i>B</i>₃ = <i>A</i>₁ + <i>A</i>₂ + <i>A</i>₃,  ...,  <i>B</i>₁₀₀ = <i>A</i>₁ + <i>A</i><sub>2...

Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.