Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 11 класса, сложность 3

Задача 210096 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Набор чиселa0,a1, ...,anудовлетворяет условиям: a0= 0, 0 ≤ak+1–ak≤ 1 при k= 0, 1, ...,n– 1. Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110096/problem_110096_img_2.gif">

Храмцов Д. Алгебраические уравнения и системы уравнений Индукция

Задача 210087 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Набор чисел a0, a1, ..., an удовлетворяет условиям: a0 = 0, ak+1 ≥ ak + 1 при k = 0, 1, ..., n – 1. Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110087/problem_110087_img_2.gif">

Храмцов Д. Алгебраические уравнения и системы уравнений Индукция

Задача 209484 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений 4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007.

Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?

Алексеев В. Б. Алгебраические уравнения и системы уравнений Тригонометрия Показательные функции и логарифмы Методы решения задач с параметром

Задача 209440 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Решите уравнение: (x³ – 2)(2sin x – 1) + (2x³ – 4) sin x = 0.

Алгебраические уравнения и системы уравнений Функции одной переменной. Непрерывность

Задача 209166 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Решить уравнение (x² – x + 1)4 – 10x²(x² – x + 1)² + 9x4 = 0.

Алгебраические уравнения и системы уравнений Алгебраические методы

Задача 208989 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Решить систему уравнений <img align="middle" src="/storage/problem-media/108989/problem_108989_img_2.gif">

Корни. Степень с рациональным показателем Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 207770 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти угл...

Маркелов С. В. Алгебраические уравнения и системы уравнений Планиметрия

Задача 198392 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений

x² + y² = A,

|x| + |y| = B

имеет m решений, а система уравнений

x² + y² + z² = C,

|x| + |y| + |z| = D

имеет n решений. Известно, что m > n > 1. Найдите m и n.

Гальперин Г. А. Алгебраические уравнения и системы уравнений Стереометрия Методы решения задач с параметром Геометрические методы

Задача 179595 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Функцияf(x) при каждом значении x∈ (− ∞, + ∞) удовлетворяет равенству f(x) + (x+ ½)f(1 −x) = 1. а) Найдитеf(0) иf(1). б) Найдите все такие функцииf(x).

Алгебраические уравнения и системы уравнений Функции одной переменной. Непрерывность

Задача 178686 • Сложность: 3 • 11 класс

Рассматривается система уравнений:

Докажите, что при некоторых k такая система имеет решение.

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 178282 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дана система уравнений:

Какие значения может принимать x25?

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 176453 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Решить уравнение <img width="98" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/76453/problem_76453_img_2.gif"> = x.

Многочлены Корни. Степень с рациональным показателем Алгебраические уравнения и системы уравнений Методы решения задач с параметром

Задача 173740 • Сложность: 3 • 9-11 класс

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что

а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;

б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

Теория множеств Текстовые задачи Линейная и полилинейная алгебра Теория чисел. Делимость Алгебраические уравнения и системы уравнений Принцип Дирихле

Задача 173712 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Пусть a – заданное вещественное число, n – натуральное число, n > 1.

Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел xn – an и 2an – xn равна числу a.

Темиров Т. Корни. Степень с рациональным показателем Алгебраические уравнения и системы уравнений Методы решения задач с параметром Алгебраические методы

Задача 173638 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений

x² + y² + xy = a,

x² – y² = b,

где а и b – некоторые данные действительные числа.

Ясиновый Э. А. Алгебраические уравнения и системы уравнений Методы решения задач с параметром Алгебраические методы

Задача 166474 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Докажите, что для любых натуральных a1, a2, ..., ak таких, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66474/problem_66474_img_2.png">, у уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66474/problem_66474_img_3.png">не больше чем a1a2...ak решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)

Григорьев М. А. Алгебраические неравенства и системы неравенств Алгебраические уравнения и системы уравнений Действительные числа

Задача 166199 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Пусть f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.

Может ли оказаться, что уравнение f(x) = a при любом значении a имеет чётное число решений?

Кожевников П. А. Многочлены Теория чисел. Делимость Алгебраические уравнения и системы уравнений Производная

Задача 166091 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Пусть a – положительный корень уравнения x2017 – x – 1 = 0, а b – положительный корень уравнения y4034 – y = 3a.

а) Сравните a и b.

б) Найдите десятый знак после запятой числа |a – b|.

Шейпак И. А. Многочлены Алгебраические неравенства и системы неравенств Алгебраические уравнения и системы уравнений Производная

Задача 165880 • Сложность: 3 • 9-11 класс

На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?

Френкин Б. Р. Алгебраические неравенства и системы неравенств Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 165714 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Найдите все такие пары различных действительных чисел x и y, что x100 – y100 = 299(x – y) и x200 – y200 = 2199(x – y).

Богданов И. И. Многочлены Алгебраические неравенства и системы неравенств Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 165263 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Можно ли:

а) нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения "орла" и "решки" были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций "решка, решка", "орел, решка", "орел, орел" были бы одинаковы?

б) нагрузить две кости так, чтобы вероятность выпадения любой суммы от 2 до 12 была одинаковой?

Алгебраические неравенства и системы неравенств Алгебраические уравнения и системы уравнений Теория вероятностей

Задача 165130 • Сложность: 3 • 10-11 класс

По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?

Теория чисел. Делимость Алгебраические уравнения и системы уравнений Индукция Доказательство от противного

Задача 161349 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Решите системы уравнений: а) x1 + x2 + x3 = 0,

x2 + x3 + x4 = 0,

&nbsp ...

x99 + x100 + x1 = 0,

x100 + x1 + x2 = 0; б) x + y + z = a,

y + z + t = b,

y + z + t = c,

<...

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Задача 161348 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Исследуйте системы уравнений: а) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_3.gif"> б) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61348/problem_61348_img_4.gif"> в) <img width="20" height="73" align="MIDDLE" borde...

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений Методы решения задач с параметром Геометрические методы

Задача 161312 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Укажите способ приближенного нахождения положительного корня уравнения x³ – x – 1 = 0.

Многочлены Алгебраические уравнения и системы уравнений Алгебраические методы

Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Источники

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Алгебраические уравнения и системы уравнений

Источники

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления