Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства» для 3-9 класса - сложность 1-3 с решениями

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>a + b + c</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.

Пусть  <i>T</i>_α(<i>x, y, z</i>) ≥ <i>T</i>_β(<i>x, y, z</i>)  для всех неотрицательных <i>x, y, z</i>. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61423/problem_61423_img_2.gif"> Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161417">161417</a>, про показатели смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

а) Диаграммы Юнга  (4, 1, 1)  и  (3, 3, 0)  не сравнимы, – ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6? б) Найдите все несравнимые пары наборов для  <i>s</i> = 7. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">здесь</a>.

Нарисуйте все лестницы из четырёх кирпичей в порядке убывания, начиная с самой крутой  (4, 0, 0, 0)  и заканчивая самой пологой  (1, 1, 1, 1).

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61420/problem_61420_img_2.gif">   тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида <div align="CENTER">(<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1,  <i>j</i> + 1, <i>i</i>),     (<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1, <i>j, i</i> + 1),     (<i>k, j, i</i>)   ↔ (<i>k,  j</i> – 1, <i>i</i> + 1). </div>(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">зд...

Найдите число всех диаграмм Юнга с весом <i>s</i>, если

а)  <i>s</i> = 4;   б)  <i>s</i> = 5;   в)  <i>s</i> = 6;   г)  <i>s</i> = 7.

Определение диаграмм Юнга смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

Напишите многочлены <i>T</i>_α и нарисуйте соответствующие им диаграммы Юнга для следующих наборов α

  а)  (3, 2);    б)  (3, 2, 1);    в)  (3, 3, 0, 0);    г)  (4, 1, 1, 0).

Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161417">161417</a>, определение диаграмм Юнга в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

Докажите неравенства:

  а)  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + <i>z</i>⁴ ≥ <i>x</i>²<i>yz</i> + <i>xy</i>²<i>z</i> + <i>xyz</i>²;

  б)  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ ≥ 3<i>xyz</i>;

  в)  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + <i>z</i>⁴ + <i>t</i>⁴ ≥ 4<i>xyzt</i>;

  г)   <i>x</i>⁵ + <i>y</i>⁵ ≥ <i>x</i>³<i>y</i>² + <i>x</i>²<i>y<...

Докажите, что если  <i>x + y + z</i> = 6,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ 12.

<b>Спортпрогноз.</b>Предположим, что ожидается баскетбольный матч между двумя командами<i>A</i>и<i>B</i>, в котором возможно только два исхода: одна из команд выигрывает. Две букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами<i>k</i>_A⁽¹⁾,<i>k</i>_B⁽¹⁾,<i>k</i>_A⁽²⁾,<i>k</i>_B⁽²⁾. Например, если игрок сделал ставку<i>N</i>в первой конторе на команду<i>A</i>, и эта команда выиграла, то игрок получает сумму<i>k</i>_A^{(1) .}<i>N</i&gt...

Выведите из неравенства задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161401">161401</a>   а) <i>неравенство Коши-Буняковского</i>:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_2.gif">   б) неравенство <i>между средним арифметическим и средним квадратичным</i>:   <img width="98" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_3.gif"> ≤ <img width="114" height="63" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_4.gif">;   в) неравенство <i>между средним арифметическим и средним гармоническим</i>:  ...

Докажите неравенство:  <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_2.gif"> + ... + <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_3.gif"> ≥ <img width="114" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_4.gif">.

Значения переменных считаются положительными.

Предположим, что имеется набор функций  <i>f</i>₁(<i>x</i>), ...,  <i>f_n</i>(<i>x</i>), определённых на отрезке  [<i>a, b</i>].  Докажите неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61400/problem_61400_img_2.gif"> </div>

Докажите, что уравнение   ^<i>x</i>/_<i>y</i> + ^<i>y</i>/_<i>z</i> + ^<i>z</i>/_<i>x</i> = 1   неразрешимо в натуральных числах.

Докажите справедливость оценок:   а)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_2.gif">   б)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_3.gif">   в)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_4.gif">   г)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_5.gif">

Как расставить скобки в выражении2^{2^{.^{.^.²}}}, чтобы оно было максимальным?

Докажите, что при  <i>x</i> ∈ (0, ^π/₂)  выполняется неравенство   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61395/problem_61395_img_2.gif">

Найдите наименьшую величину выражения   <img width="119" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_2.gif"> + <img width="119" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_3.gif"> + ... + <img width="127" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_4.gif">.

Даны рациональные положительные <i>p, q</i>, причём  ¹/_<i>p</i> + ¹/_<i>q</i> = 1.  Докажите, что для положительных <i>a</i> и <i>b</i> выполняется неравенство   <i>ab ≤ ^{a^p}</i>/<i>_p + ^{b^q}</i>/_<i>q</i>.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> сумма   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61391/problem_61391_img_2.gif">   лежит в пределах от ½ до ¾.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> справедливо неравенство   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61390/problem_61390_img_2.gif">

Докажите неравенство  (1 + <i>x</i>₁)...(1 + <i>x</i>_<i>n</i>) ≥ 2^<i>n</i>,  где <i>x</i>₁...<i>x_n</i> = 1.

Значения переменных считаются положительными.

Докажите, что при  <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i> ≥ 0  выполняется неравенство   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61388/problem_61388_img_2.gif">

Докажите неравенства:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61387/problem_61387_img_2.gif">

Значения переменных считаются положительными.

Докажите <i>неравенство Чебышёва</i>   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61386/problem_61386_img_2.gif">   при условии, что   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>   и

<i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>.