Олимпиадные задачи из источника «глава 14. Центр масс» - сложность 1-2 с решениями

Точка <i>X</i>лежит внутри треугольника<i>ABC</i>. Прямые, проходящие через точку <i>X</i>параллельно<i>AC</i>и <i>BC</i>, пересекают сторону<i>AB</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>соответственно. Докажите, что барицентрические координаты точки <i>X</i>равны(<i>BL</i>:<i>AK</i>:<i>LK</i>).

Докажите, что барицентрические координаты точки <i>X</i>, лежащей внутри треугольника<i>ABC</i>, равны(<i>S</i>_BCX:<i>S</i>_CAX:<i>S</i>_ABX).

Пусть задан треугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃. Докажите, что: а) любая точка <i>X</i>имеет некоторые барицентрические координаты относительно него; б) при условии<i>m</i>₁+<i>m</i>₂+<i>m</i>₃= 1 барицентрические координаты точки <i>X</i>определены однозначно.

а) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с единичными массами равен${\frac{1}{n}}$$\sum\limits_{i<j}^{}$<i>a</i>_ij², где <i>n</i> — число точек,<i>a</i>_ij — расстояние между точками с номерами <i>i</i>и <i>j</i>. б) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с массами<i>m</i>₁,...,<i>m</i>_n, равен${\frac{1}{m}}$$\sum\limits_{i<j}^{}$<i>m</i>_i<i>m</i>_j<i>a</i>_ij², где<i>m</i>=<i>m</i>&l...

Пусть <i>O</i> — центр масс системы точек, суммарная масса которой равна <i>m</i>. Докажите, что моменты инерции этой системы относительно точки <i>O</i>и произвольной точки <i>X</i>связаны соотношением<i>I</i>_X=<i>I</i>_O+<i>mXO</i>².

Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,...,<i>F</i>₁ — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,...,<i>FA</i>произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников<i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>E</i>₁и <i>B</i>₁<i>D</i>₁<i>F</i>₁совпадают.

Докажите, что медианы треугольника<i>ABC</i>пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Докажите, что центр масс точек <i>A</i>и <i>B</i>с массами <i>a</i>и <i>b</i>лежит на отрезке<i>AB</i>и делит его в отношении<i>b</i>:<i>a</i>.

Докажите, что центр масс системы точек<i>X</i>₁,...,<i>X</i>_n,<i>Y</i>₁,...,<i>Y</i>_mс массами<i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n,<i>b</i>₁,...,<i>b</i>_mсовпадает с центром масс двух точек — центра масс <i>X</i>первой системы с массой<i>a</i>₁+...+<i>a</i>_nи центра масс <i>Y</i>второй системы с массой<i>b</i>₁+...+<i>b</i>_m.

а) Докажите, что центр масс существует и единствен для любой системы точек. б) Докажите, что если <i>X</i> — произвольная точка, а <i>O</i> — центр масс точек<i>X</i>₁,...,<i>X</i>_nс массами<i>m</i>₁,...,<i>m</i>_n, то$\overrightarrow{XO}$=${\frac{1}{m_1+\ldots+m_n}}$(<i>m</i>₁$\overrightarrow{XX_1}$+...+<i>m</i>_n$\overrightarrow{XX_n}$).