Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Вписанный угол» для 8-9 класса - сложность 4-5 с решениями

Из центра <i>O</i>окружности опущен перпендикуляр <i>OA</i>на прямую <i>l</i>. На прямой <i>l</i>взяты точки <i>B</i>и <i>C</i>так, что <i>AB</i>=<i>AC</i>. Через точки <i>B</i>и <i>C</i>проведены две секущие, первая из которых пересекает окружность в точках <i>P</i>и <i>Q</i>, а вторая — в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Прямые <i>PM</i>и <i>QN</i>пересекают прямую <i>l</i>в точках <i>R</i>и <i>S</i>. Докажите, что <i>AR</i>=<i>AS</i>.

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем касательные к <i>S</i>₁в этих точках являются радиусами <i>S</i>₂. На внутренней дуге <i>S</i>₁взята точка <i>C</i>и соединена с точками <i>A</i>и <i>B</i>прямыми. Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с <i>S</i>₂являются концами одного диаметра.

На сторонах <i>AC</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены квадраты <i>ACA</i>₁<i>A</i>₂и <i>BCB</i>₁<i>B</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>B</i>,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>AB</i>₁пересекаются в одной точке.

Даны четыре прямые. Докажите, что проекции точки Микеля на эти прямые лежат на одной прямой.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности с центром <i>O</i>. Прямые <i>AB</i>и <i>CD</i>пересекаются в точке <i>E</i>, а описанные окружности треугольников <i>AEC</i>и <i>BED</i>пересекаются в точках <i>E</i>и <i>P</i>. Докажите, что: а) точки <i>A</i>,<i>D</i>,<i>P</i>и <i>O</i>лежат на одной окружности; б) $\angle$<i>EPO</i>= 90^<tt>o</tt>.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

Прямая пересекает стороны <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>треугольника (или их продолжения) в точках <i>C</i>₁,<i>B</i>₁и <i>A</i>₁; <i>O</i>,<i>O</i>_a,<i>O</i>_bи <i>O</i>_c — центры описанных окружностей треугольников <i>ABC</i>,<i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>; <i>H&l...

Точки <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>симметричны некоторой точке <i>P</i>относительно сторон <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>. а) Докажите, что описанные окружности треугольников <i>AB'C'</i>,<i>A'BC'</i>,<i>A'B'C</i>и <i>ABC</i>имеют общую точку. б) Докажите, что описанные окружности треугольников <i>A'BC</i>,<i>AB'C</i>,<i>ABC'</i>и <i>A'B'C'</i>имеют общую точку <i>Q</i>. в) Пусть <i>I</i>,<i>J</i>,<i>K</i>и <i>O</i> — центры описанных окружносте...

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что если треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁и <i>ABC</i>подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников <i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и <i>A</i>₁<i>B</i>₁&lt...

а) Окружность, проходящая через точку <i>C</i>, пересекает стороны <i>BC</i>и <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>₁и <i>B</i>₁, а его описанную окружность в точке <i>M</i>. Докажите, что $\triangle$<i>AB</i>₁<i>M</i>$\sim$$\triangle$<i>BA</i>₁<i>M</i>. б) На лучах <i>AC</i>и <i>BC</i>отложены отрезки <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁, равные полупериметру треугольника <i>ABC</i>. <i>M</i> — такая точка его описанной окружности, что <i>CM</i&gt...

Окружность <i>S</i>₁с диаметром <i>AB</i>пересекает окружность <i>S</i>₂с центром <i>A</i>в точках <i>C</i>и <i>D</i>. Через точку <i>B</i>проведена прямая, пересекающая <i>S</i>₂в точке <i>M</i>, лежащей внутри <i>S</i>₁, а <i>S</i>₁в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>MN</i>²=<i>CN</i>^.<i>ND</i>.

Через точку <i>O</i>пересечения биссектрис треугольника <i>ABC</i>проведена прямая <i>MN</i>перпендикулярно <i>CO</i>, причем <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AC</i>и <i>BC</i>соответственно. Прямые <i>AO</i>и <i>BO</i>пересекают описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A'</i>и <i>B'</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>A'N</i>и <i>B'M</i>лежит на описанной окружности.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Прямая <i>KL</i>параллельна <i>CC</i>₁, причем точки <i>K</i>и <i>L</i>лежат на прямых <i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>A</i>₁<i>KL</i>лежит на прямой <i>AC</i>.

Треугольники <i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁имеют соответственно параллельные стороны, причем стороны <i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁лежат на одной прямой. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения описанных окружностей треугольников <i>A</i>₁<i>BC</i>и <i>AB</i>₁<i>C</i>, содержит точку <i>C</i>₁.

Диагонали <i>AC</i>и <i>CE</i>правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i>разделены точками <i>M</i>и <i>N</i>так, что <i>AM</i>:<i>AC</i>=<i>CN</i>:<i>CE</i>=$\lambda$. Найдите $\lambda$, если известно, что точки <i>B</i>,<i>M</i>и <i>N</i>лежат на одной прямой.

Докажите, что если для вписанного четырехугольника <i>ABCD</i>выполнено равенство <i>CD</i>=<i>AD</i>+<i>BC</i>, то точка пересечения биссектрис углов <i>A</i>и <i>B</i>лежит на стороне <i>CD</i>.

Вокруг правильного треугольника <i>APQ</i>описан прямоугольник <i>ABCD</i>, причем точки <i>P</i>и <i>Q</i>лежат на сторонах <i>BC</i>и <i>CD</i>соответственно; <i>P'</i>и <i>Q'</i> — середины сторон <i>AP</i>и <i>AQ</i>. Докажите, что треугольники <i>BQ'C</i>и <i>CP'D</i>правильные.

Прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>пересекают описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Точки <i>A</i>₂,<i>B</i>₂и<i>C</i>₂взяты на прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>так, что $\angle$(<i>PA</i>₂,<i>BC</i>) =$\angle$(<i>PB</i>₂,<i>CA</i>) =$\angle$(<i>PC</i>₂,<i>AB</i>). Докажите, что $\triangle$<i>A</i>&...

Внутри четырехугольника <i>ABCD</i>взята точка <i>M</i>так, что <i>ABMD</i> — параллелограмм. Докажите, что если $\angle$<i>CBM</i>=$\angle$<i>CDM</i>, то $\angle$<i>ACD</i>=$\angle$<i>BCM</i>.

Вписанная окружность касается сторон <i>AB</i>и <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Пусть <i>P</i> — точка пересечения прямой <i>MN</i>и биссектрисы угла <i>B</i>(или ее продолжения). Докажите, что: а) $\angle$<i>BPC</i>= 90^<tt>o</tt>; б) <i>S</i>_ABP:<i>S</i>_ABC= 1 : 2.

В треугольнике<i>ABC</i>угол<i>A</i>наименьший. Через вершину<i>A</i>проведена прямая, пересекающая отрезок<i>BC</i>. Она пересекает описанную окружность в точке<i>X</i>, а серединные перпендикуляры к сторонам<i>AC</i>и<i>AB</i>— в точках<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Прямые<i>BC</i>₁и<i>CB</i>₁пересекаются в точке<i>Y</i>. Докажите, что<i>BY</i>+<i>CY</i>=<i>AX</i>.

По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка <i>K</i>подвижной окружности?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.

Многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_2nвписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при <i>n</i>нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при <i>n</i>четном оставшаяся пара сторон равна по длине.

Через середину <i>C</i> произвольной хорды <i>AB</i> окружности проведены две хорды <i>KL</i> и <i>MN</i> (точки <i>K</i> и <i>M</i> лежат по одну сторону от <i>AB</i>). Отрезок <i>KN</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Отрезок <i>LM</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>PC = QC</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_52460_img_6.gif">TeX</a></small>