Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Гипербола» для 2-10 класса - сложность 1-2 с решениями

Найти множество точек пересечения всех пар перпендикулярных касательных к гиперболе.

а) Докажите, что отношение расстояний от точки гиперболы до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету <i>e</i>. б) Даны точка<i>F</i>и прямая<i>l</i>. Докажите, что множество точек<i>X</i>, для которых отношение расстояния от<i>X</i>до<i>F</i>к расстоянию от<i>X</i>до<i>l</i>равно постоянному числу<i>e</i>> 1, — гипербола.

Докажите, что площадь треугольника, образованного асимптотами и касательной к гиперболе, одна и та же для всех касательных.

Докажите, что середины параллельных хорд гиперболы лежат на одной прямой.

Докажите, что множество точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек<i>F</i>₁и<i>F</i>₂— постоянная величина, есть гипербола.

Докажите, что асимптоты гиперболы<div align="CENTER"> <i>ax</i>² + 2<i>bxy</i> + <i>cy</i>² + <i>dx</i> + <i>ey</i> + <i>f</i> = 0 </div>ортогональны тогда и только тогда, когда<i>a</i>+<i>c</i>= 0.

Окружность радиуса2$\sqrt{x_0^2+x_0^{-2}}$с центром(<i>x</i>₀,<i>x</i>₀^-1) пересекает гиперболу<i>xy</i>= 1 в точке(-<i>x</i>₀, -<i>x</i>₀^-1) и в точках<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Докажите, что треугольник<i>ABC</i>равносторонний.

Вершины треугольника лежат на гиперболе<i>xy</i>= 1. Докажите, что его ортоцентр тоже лежит на этой гиперболе.

Докажите, что окружность девяти точек треугольника<i>ABC</i>, вершины которого лежат на равнобочной гиперболе, проходит через центр<i>O</i>гиперболы.

Точки<i>A</i>и<i>B</i>лежат на гиперболе. Прямая<i>AB</i>пересекает асимптоты гиперболы в точках<i>A</i>₁и<i>B</i>₁. а) Докажите, что<i>AA</i>₁=<i>BB</i>₁и<i>AB</i>₁=<i>BA</i>₁. б) Докажите, что если прямая<i>A</i>₁<i>B</i>₁касается гиперболы в точке<i>X</i>, то<i>X</i>— середина отрезка<i>A</i>₁,<i>B</i>₁.