Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Вписанная и описанная окружности» - сложность 1-3 с решениями

Из точки <i>P</i>дуги <i>BC</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>опущены перпендикуляры <i>PX</i>,<i>PY</i>и <i>PZ</i>на <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>соответственно. Докажите, что ${\frac{BC}{PX}}$=${\frac{AC}{PY}}$+${\frac{AB}{PZ}}$.

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника <i>ABC</i>относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята такая точка <i>P</i>, что $\angle$<i>PAB</i>:$\angle$<i>PAC</i>=$\angle$<i>PCA</i>:$\angle$<i>PCB</i>=$\angle$<i>PBC</i>:$\angle$<i>PBA</i>=<i>x</i>. Докажите, что <i>x</i>= 1.

Докажите, что сторона <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>видна из центра <i>O</i>вписанной окружности под углом 90^<tt>o</tt>+$\angle$<i>A</i>/2, а из центра <i>O</i>_aвневписанной окружности под углом 90^<tt>o</tt>-$\angle$<i>A</i>/2.

Пусть <i>O</i>_a,<i>O</i>_bи <i>O</i>_c — центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i> — основания высот треугольника <i>O</i>_a<i>O</i>_b<i>O</i>_c.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем <i>AC</i>₁=<i>AB</i>₁,<i>BA</i>₁=<i>BC</i>₁и <i>CA</i>₁=<i>CB</i>₁. Докажите, что <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами.