Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Вписанная и описанная окружности» - сложность 4 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i>сторона <i>BC</i>наименьшая. На лучах <i>BA</i>и <i>CA</i>отложены отрезки <i>BD</i>и <i>CE</i>, равные <i>BC</i>. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника <i>ADE</i>равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

Длины сторон треугольника <i>ABC</i>образуют арифметическую прогрессию, причем <i>a</i><<i>b</i><<i>c</i>. Биссектриса угла <i>B</i>пересекает описанную окружность в точке <i>B</i>₁. Докажите, что центр <i>O</i>вписанной окружности делит отрезок <i>BB</i>₁пополам.

Продолжения биссектрис углов треугольника <i>ABC</i>пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁; <i>M</i> — точка пересечения биссектрис. Докажите, что:<div align="CENTER"> a) $\displaystyle {\frac{MA\cdot MC}{MB_1}}$ = 2<i>r</i>;        б) $\displaystyle {\frac{MA_1\cdot MC_1}{MB}}$ = <i>R</i>. </div>

Пусть<i>O</i>— центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>I</i>— центр вписанной окружности. Докажите, что<i>OB</i>$\bot$<i>BI</i>(или же<i>O</i>совпадает с<i>I</i>) тогда и только тогда, когда<i>b</i>= (<i>a</i>+<i>c</i>)/2.

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, <i>I</i> — центр вписанной окружности, <i>I</i>_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>. Докажите, что: а) <i>d</i>²=<i>R</i>²- 2<i>Rr</i>, где <i>d</i>=<i>OI</i>; б) <i>d</i>_a²=<i>R</i>²+ 2<i>Rr</i>_a, где <i>d</i>_a=<i>OI</i>_a.

Окружность касается сторон угла с вершиной <i>A</i>в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Расстояния от точек <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>A</i>до некоторой касательной к этой окружности равны <i>u</i>,<i>v</i>и <i>w</i>. Докажите, что <i>uv</i>/<i>w</i>²= sin²(<i>A</i>/2).

В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i>через середину <i>M</i>стороны <i>BC</i>и центр <i>O</i>вписанной окружности проведена прямая <i>MO</i>, пересекающая высоту <i>AH</i>в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>AE</i>=<i>r</i>.

Угол величиной $\alpha$=$\angle$<i>BAC</i>вращается вокруг своей вершины <i>O</i> — середины основания <i>AC</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Стороны этого угла пересекают отрезки <i>AB</i>и <i>BC</i>в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что периметр треугольника <i>PBQ</i>остается постоянным.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции некоторой внутренней точки <i>O</i>треугольника <i>ABC</i>на высоты. Докажите, что если длины отрезков <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁равны, то они равны 2<i>r</i>.