Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Разные задачи» для 5-8 класса - сложность 3 с решениями

Окружность радиуса <i>u_a</i> вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>, окружность радиуса <i>u_b</i> вписана в угол <i>B</i>; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/56895/problem_56895_img_2.gif">   равен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/56895/problem_56895_img_3.gif">  где <i>p</i> – полупериметр треугольника <i>ABC</i>.

На сторонах треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ так, что  <i>AB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>C = cⁿ</i> : <i>aⁿ,  BC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>A = aⁿ</i> : <i>bⁿ</i>  и  <i>CA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>B = bⁿ</i> : <i>cⁿ</i>  (<i>a, b, c</i> – длины стор...

В каждый из углов треугольника <i>ABC</i> вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> (или на их продолжениях) взяты точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ так, что  ∠(<i>CC</i>₁, <i>AB</i>) = ∠(<i>AA</i>₁, <i>BC</i>) = ∠(<i>BB</i>₁, <i>CA</i>) = α.  Прямые <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁, <i>CC</i>₁ и <i>AA</i>₁...

На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены квадраты с центрами <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Пусть <i>a</i>₁, <i>b</i>₁ и <i>c</i>₁ – длины сторон треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>S</i> и <i>S</i>₁ – площади треугольников <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите,...

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены квадраты <i>ABC</i>₁<i>D</i>₁ и <i>A</i>₂<i>BCD</i>₂.

Докажите, что точка пересечения прямых <i>AD</i>₂ и <i>CD</i>₁ лежит на высоте <i>BH</i>.

Точка <i>E</i> – середина той дуги <i>AB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, на которой лежит точка <i>C; C</i>₁ – середина стороны <i>AB</i>. Из точки <i>E</i> опущен перпендикуляр <i>EF</i> на <i>AC</i>. Докажите, что:

  а) прямая <i>C</i>₁<i>F</i> делит пополам периметр треугольника <i>ABC</i>;

  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

а) В треугольниках <i>ABC</i>и <i>A'B'C'</i>равны стороны<i>AC</i>и<i>A'C'</i>, углы при вершинах<i>B</i>и<i>B'</i>и биссектрисы углов<i>B</i>и<i>B'</i>. Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник<i>ABC</i>равен треугольнику<i>A'B'C'</i>или треугольнику<i>C'B'A'</i>). б) Через точку<i>D</i>биссектрисы<i>BB</i>₁угла<i>ABC</i>проведены прямые<i>AA</i>₁и<i>CC</i>₁(точки<i>A</i>₁и<i>C</i><sub>1</s...

Докажите, что проекции вершины <i>A</i> треугольника <i>ABC</i> на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах <i>B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой.

Пусть  <i>x</i> = sin 18°.  Докажите, что  4<i>x</i>² + 2<i>x</i> = 1.

Докажите, что прямая делит периметр и площадь треугольника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности треугольника.