Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Построения» для 3-10 класса - сложность 3-5 с решениями
глава 8. Построения
НазадДан отрезок <i>OA</i>, параллельный прямой <i>l</i>. С помощью прямого угла постройте точки, в которых окружность радиуса <i>OA</i>с центром <i>O</i>пересекает прямую <i>l</i>.
Даны отрезок <i>AB</i>, прямая <i>l</i>и точка <i>O</i>на ней. С помощью прямого угла постройте на прямой <i>l</i>такую точку <i>X</i>, что <i>OX</i>=<i>AB</i>.
Даны угол <i>AOB</i>и прямая <i>l</i>. С помощью прямого угла проведите прямую <i>l</i><sub>1</sub>так, что угол между прямыми <i>l</i>и <i>l</i><sub>1</sub>равен углу <i>AOB</i>.
Даны отрезки <i>O</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>и <i>O</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>2</sub>. С помощью одной двусторонней линейки постройте радикальную ось окружностей радиуса <i>O</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>и <i>O</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>2</sub>с центрами <i>O</i><sub>1</sub>и <i>O</i><sub>2</sub>соответственно.
Даны прямая <i>l</i>и отрезок <i>OA</i>, параллельный <i>l</i>. С помощью одной двусторонней линейки постройте точки пересечения прямой <i>l</i>с окружностью радиуса <i>OA</i>с центром <i>O</i>.
Даны отрезок <i>AB</i>, непараллельная ему прямая <i>l</i>и точка <i>M</i>на ней. С помощью одной двусторонней линейки постройте точки пересечения прямой <i>l</i>с окружностью радиуса <i>AB</i>с центром <i>M</i>.
Даны угол <i>AOB</i>, прямая <i>l</i>и точка <i>P</i>на ней. С помощью одной двусторонней линейки проведите через точку <i>P</i>прямые, образующие с прямой <i>l</i>угол, равный углу <i>AOB</i>.
Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь окружность <i>S</i>и ее центр <i>O</i>, то с помощью одной линейки можно: а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой, и опустить на данную прямую перпендикуляр; б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному отрезку; в) построить отрезок длиной <i>ab</i>/<i>c</i>, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины данных отрезков; г) построить точки пересечения данной прямой <i>l</i>с окружностью, центр которой — данная точка <i>A</i>, а радиус равен длине данного отрезка; д) построить точки пересечения двух окружностей, центры которых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.
Даны окружность, ее диаметр <i>AB</i>и точка <i>P</i>. С помощью одной линейки проведите через точку <i>P</i>перпендикуляр к прямой <i>AB</i>.
Даны две параллельные прямые и точка <i>P</i>. С помощью одной линейки проведите через точку <i>P</i>прямую, параллельную данным прямым.
Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите отрезок, лежащий на одной из них, на <i>n</i>равных частей.
Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью одной линейки.
Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите пополам отрезок, лежащий на одной из данных прямых.
На окружности радиуса <i>a</i>дана точка. С помощью монеты радиуса<i>a</i>постройте точку, диаметрально противоположную данной.
Даны точки <i>A</i>и <i>B</i>, расстояние между которыми больше 1 м. С помощью одной лишь линейки, длина которой равна 10 см, постройте отрезок <i>AB</i>. (Линейкой можно только проводить прямые линии.)
С помощью двусторонней линейки постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.
На клочке бумаги нарисованы две прямые, образующие угол, вершина которого лежит вне этого клочка. С помощью циркуля и линейки проведите ту часть биссектрисы угла, которая лежит на клочке бумаги.
Даны диаметр <i>AB</i>окружности и точка <i>C</i>на нем. Постройте на этой окружности точки <i>X</i>и <i>Y</i>, симметричные относительно прямой <i>AB</i>, так, чтобы прямые <i>AX</i>и <i>YC</i>были перпендикулярными.
Постройте прямоугольник с данным отношением сторон, зная по одной точке на каждой из его сторон.
Постройте правильный десятиугольник.
Точки <i>A</i>и <i>B</i>лежат на диаметре данной окружности. Проведите через них две равные хорды с общим концом.
На плоскости даны два отрезка <i>AB</i>и <i>A'B'</i>. Постройте точку <i>O</i>так, чтобы треугольники <i>AOB</i>и <i>A'OB'</i>были подобны (одинаковые буквы обозначают соответственные вершины подобных треугольников).
На прямой даны четыре точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>в указанном порядке. Постройте точку <i>M</i>, из которой отрезки <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>видны под равными углами.
Постройте треугольник <i>ABC</i>, если известны длина биссектрисы <i>CD</i>и длины отрезков <i>AD</i>и <i>BD</i>, на которые она делит сторону <i>AB</i>.
Постройте треугольник по <i>a</i>,<i>h</i><sub>a</sub>и <i>b</i>/<i>c</i>.