Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Построения» для 3-11 класса - сложность 3 с решениями

Дан отрезок <i>OA</i>, параллельный прямой <i>l</i>. С помощью прямого угла постройте точки, в которых окружность радиуса <i>OA</i>с центром <i>O</i>пересекает прямую <i>l</i>.

Даны отрезок <i>AB</i>, прямая <i>l</i>и точка <i>O</i>на ней. С помощью прямого угла постройте на прямой <i>l</i>такую точку <i>X</i>, что <i>OX</i>=<i>AB</i>.

Даны угол <i>AOB</i>и прямая <i>l</i>. С помощью прямого угла проведите прямую <i>l</i>₁так, что угол между прямыми <i>l</i>и <i>l</i>₁равен углу <i>AOB</i>.

Даны отрезок <i>AB</i>, непараллельная ему прямая <i>l</i>и точка <i>M</i>на ней. С помощью одной двусторонней линейки постройте точки пересечения прямой <i>l</i>с окружностью радиуса <i>AB</i>с центром <i>M</i>.

Даны угол <i>AOB</i>, прямая <i>l</i>и точка <i>P</i>на ней. С помощью одной двусторонней линейки проведите через точку <i>P</i>прямые, образующие с прямой <i>l</i>угол, равный углу <i>AOB</i>.

Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью одной линейки.

Постройте правильный десятиугольник.

Постройте треугольник <i>ABC</i>, если известны длина биссектрисы <i>CD</i>и длины отрезков <i>AD</i>и <i>BD</i>, на которые она делит сторону <i>AB</i>.

Постройте треугольник по <i>a</i>,<i>h</i>_aи <i>b</i>/<i>c</i>.

а) Даны две точки <i>A</i>,<i>B</i>и прямая <i>l</i>. Постройте окружность, проходящую через точки <i>A</i>,<i>B</i>и касающуюся прямой <i>l</i>. б) Даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>и окружность <i>S</i>. Постройте окружность, проходящую через точки <i>A</i>и <i>B</i>и касающуюся окружности <i>S</i>.

Даны три вершины вписанного и описанного четырехугольника. Постройте его четвертую вершину.

Даны середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Постройте этот четырехугольник.

Через вершину <i>A</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>проведите прямую, делящую его на две равновеликие части.

Постройте треугольник <i>ABC</i>по медиане <i>m</i>_cи биссектрисе <i>l</i>_c, если $\angle$<i>C</i>= 90^<tt>o</tt>.

Проведите через данную точку <i>M</i>прямую так, чтобы она отсекала от данного угла с вершиной <i>A</i>треугольник <i>ABC</i>данного периметра 2<i>p</i>.

Впишите в данный треугольник <i>ABC</i>прямоугольник <i>PQRS</i>(вершины <i>R</i>и <i>Q</i>лежат на сторонах <i>AB</i>и <i>BC</i>, <i>P</i>и <i>S</i> — на стороне <i>AC</i>) так, чтобы его диагональ имела данную длину.

Постройте треугольник <i>ABC</i>, зная положение трех точек <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁, являющихся центрами вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>.

Постройте треугольник <i>ABC</i>, зная три точки <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>, в которых высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины <i>C</i>, пересекают описанную окружность.

Потроить треугольник по сторонам<i>a</i>и<i>b</i>и медиане к стороне <i>c</i> <i>m</i>_c.

Потроить треугольник по высоте к стороне <i>a</i><i>h</i>_a, медиане к стороне <i>a</i><i>m</i>_aи высоте к стороне <i>b</i> <i>h</i>_b.

Впишите в данный остроугольный треугольник <i>ABC</i>квадрат <i>KLMN</i>так, чтобы вершины <i>K</i>и <i>N</i>лежали на сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>, а вершины <i>L</i>и <i>M</i> — на стороне <i>BC</i>.

Продолжения сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>прямоугольника <i>ABCD</i>пересекают некоторую прямую в точках <i>M</i>и <i>N</i>, а продолжения сторон <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекают ту же прямую в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Постройте прямоугольник <i>ABCD</i>, если даны точки <i>M</i>,<i>N</i>,<i>P</i>,<i>Q</i>и длина <i>a</i>стороны <i>AB</i>.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Впишите в него параллелограмм с заданными направлениями сторон.

Даны точка <i>A</i>и окружность <i>S</i>. Проведите через точку <i>A</i>прямую так, чтобы хорда, высекаемая окружностью <i>S</i>на этой прямой, имела данную длину <i>d</i>.

Даны прямая и окружность. Постройте окружность данного радиуса <i>r</i>, касающуюся их.