Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Построения» - сложность 2-3 с решениями

Дан отрезок <i>OA</i>, параллельный прямой <i>l</i>. С помощью прямого угла постройте точки, в которых окружность радиуса <i>OA</i>с центром <i>O</i>пересекает прямую <i>l</i>.

Даны отрезок <i>AB</i>, прямая <i>l</i>и точка <i>O</i>на ней. С помощью прямого угла постройте на прямой <i>l</i>такую точку <i>X</i>, что <i>OX</i>=<i>AB</i>.

Даны угол <i>AOB</i>и прямая <i>l</i>. С помощью прямого угла проведите прямую <i>l</i>₁так, что угол между прямыми <i>l</i>и <i>l</i>₁равен углу <i>AOB</i>.

Дан угол <i>AOB</i>. С помощью прямого угла постройте: а) угол, вдвое больший угла <i>AOB</i>; б) угол, вдвое меньший угла <i>AOB</i>.

Дан отрезок <i>AB</i>. С помощью прямого угла постройте: а) середину отрезка <i>AB</i>; б) отрезок <i>AC</i>, серединой которого является точка <i>B</i>.

Даны отрезок <i>AB</i>, непараллельная ему прямая <i>l</i>и точка <i>M</i>на ней. С помощью одной двусторонней линейки постройте точки пересечения прямой <i>l</i>с окружностью радиуса <i>AB</i>с центром <i>M</i>.

Даны угол <i>AOB</i>, прямая <i>l</i>и точка <i>P</i>на ней. С помощью одной двусторонней линейки проведите через точку <i>P</i>прямые, образующие с прямой <i>l</i>угол, равный углу <i>AOB</i>.

С помощью одной двусторонней линейки: а) через данную точку проведите прямую, параллельную данной прямой; б) постройте середину данного отрезка.

С помощью одной двусторонней линейки восставьте перпендикуляр к данной прямой <i>l</i>в данной точке <i>A</i>.

Выполните построения с помощью линейки с двумя параллельными краями (двусторонней линейки) без циркуля. а) Постройте биссектрису данного угла <i>AOB</i>. б) Дан острый угол <i>AOB</i>. Постройте угол <i>BOC</i>, биссектрисой которого является луч <i>OA</i>.

Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью одной линейки.

Докажите, что угол величиной <i>n</i>^<tt>o</tt>, где <i>n</i> — целое число, не делящееся на 3, можно разделить на <i>n</i>равных частей с помощью циркуля и линейки.

Постройте правильный десятиугольник.

а) На параллельных прямых <i>a</i>и <i>b</i>даны точки <i>A</i>и <i>B</i>. Проведите через данную точку <i>C</i>прямую <i>l</i>, пересекающую прямые <i>a</i>и <i>b</i>в таких точках <i>A</i>₁и <i>B</i>₁, что <i>AA</i>₁=<i>BB</i>₁. б) Проведите через точку <i>C</i>прямую, равноудаленную от данных точек <i>A</i>и <i>B</i>.

Постройте треугольник <i>ABC</i>, если известны длина биссектрисы <i>CD</i>и длины отрезков <i>AD</i>и <i>BD</i>, на которые она делит сторону <i>AB</i>.

Постройте треугольник по <i>a</i>,<i>h</i>_aи <i>b</i>/<i>c</i>.

а) Даны две точки <i>A</i>,<i>B</i>и прямая <i>l</i>. Постройте окружность, проходящую через точки <i>A</i>,<i>B</i>и касающуюся прямой <i>l</i>. б) Даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>и окружность <i>S</i>. Постройте окружность, проходящую через точки <i>A</i>и <i>B</i>и касающуюся окружности <i>S</i>.

Даны окружность <i>S</i>, точка <i>A</i>на ней и прямая <i>l</i>. Постройте окружность, касающуюся данной окружности в точке <i>A</i>и данной прямой.

Даны три вершины вписанного и описанного четырехугольника. Постройте его четвертую вершину.

Даны середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Постройте этот четырехугольник.

Через вершину <i>A</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>проведите прямую, делящую его на две равновеликие части.

Постройте четырехугольник <i>ABCD</i>по четырем сторонам и углу между <i>AB</i>и <i>CD</i>.

Постройте ромб, две стороны которого лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные точки.

Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.

Постройте треугольник <i>ABC</i>по медиане <i>m</i>_cи биссектрисе <i>l</i>_c, если $\angle$<i>C</i>= 90^<tt>o</tt>.