Олимпиадные задачи из источника «1971 год» для 7-9 класса

В колбе находится колония из<i>n</i>бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178710">178710</a>и с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178716">178716</a>.)

Собралось <i>n</i> человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, при этом  <i>x_k</i> = ±1.  Доказать, что если  <i>x</i>₁<i>x</i>₂ + <i>x</i>₂<i>x</i>₃ + ... + <i>x_nx</i>₁ = 0,  то <i>n</i> делится на 4.

В некотором множестве введена<nobr>операция <font face="Symbol"></font>,</nobr>которая по каждым двум элементам<i>a</i><nobr>и <i>b</i></nobr>этого множества вычисляет некоторый элемент<i>a</i><font face="Symbol"></font><i>b</i>этого множества. Известно, что:<nobr>1°. Для любых трех элементов <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i></nobr> <nobr>          <i>a</i><font face="Symbol"></font>(<i>b</i><font face="Symbol"></font><i>c</i>) = <i>b</i><font face="Symbol">*</font>(<i>c</i><font face="Symbo...

С четырёх сторон шахматной доски размером <i>n×n</i> построена кайма шириной в два поля. Докажите, что кайму можно обойти шахматным конём, побывав на каждом поле один и только один раз, в тех и только тех случаях, когда  <i>n</i> – 1  кратно 4.

Несколько человек в течение <i>t</i> минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти <i>t</i> минут?

В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел <i>a, b, c, d</i> произведение чисел  <i>a – d</i>  и  <i>b – c</i>  отрицательно, то числа <i>b</i> и <i>c</i> можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.

Для любого натурального числа <i>n</i> существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2^<i>n</i>. Докажите это.

(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)

а) Дан выпуклый многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>. На стороне <i>A</i>₁<i>A</i>₂ взяты точки <i>B</i>₁ и <i>D</i>₂, на стороне <i>A</i>₂<i>A</i>₃ – точки <i>B</i>₂ и <i>D</i>₃, ..., на стороне <i>A</i>_<i>n</i><i>A</i>₁ – точки <i>B</i>_<i>n</i> и <i>D</i><sub&g...

Докажите, что если для чисел <i>p</i>₁, <i>p</i>₂, <i>q</i>₁ и <i>q</i>₂ выполнено неравенство  (<i>q</i>₁ – <i>q</i>₂)² + (<i>p</i>₁ – <i>p</i>₂)(<i>p</i>₁<i>q</i>₂ – <i>p</i>₂<i>q</i>₁) < 0,  то квадратные трёхчлены

<i>x</i>² + <i>p</i>₁<i>x</i> + <i>q</i>₁  и  <i>x</i&...

Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>xy = a</i>,

    <i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>b</i>,

где <i>а</i> и <i>b</i> – некоторые данные действительные числа.

Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек<i>A</i><nobr>и <i>B</i></nobr>существует такая<nobr>точка <i>С</i></nobr>этого множества, что треугольник<i>ABC</i>равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.

  а) Докажите, что в таблице <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73633/problem_73633_img_2.gif"></div>где каждое число равно сумме трёх стоящих над ним чисел, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число.   б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?

В трапеции<i>ABCD</i>с основаниями<nobr><i>AB</i> = <i>a</i></nobr>и<nobr><i>CD</i> = <i>b</i></nobr>проведён отрезок<i>A</i>₁<i>B</i>₁, соединяющий середины диагоналей.<nobr>В полученной</nobr>трапеции проведён отрезок<i>A</i>₂<i>B</i>₂, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков<i>AB</i>,<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂,... какое-то число встретиться...

Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.

Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик. Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешено за один ход ставить не три, а...

Если<nobr><i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < <i>x</i>₃ < ... < <i>x</i>_<i>n</i> —</nobr>натуральные числа, то сумма<nobr><i>n</i> – 1</nobr>дробей,<nobr><i>k</i>-я из</nobr>которых, где<nobr><i>k</i> < <i>n</i>,</nobr>равна отношению квадратного корня из разности<nobr><i>x</i>_<i>k</i>+1 - <i>x</i>_<i>k</i></nobr>к числу<i>x</i>_<i>k</i>+1, меньше суммы чисел 1,¹/<sub&g...

В любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.

б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").

Для любых натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_m</i>, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b_m</i> сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73620/problem_73620_img_2.gif">   не равна нулю. Докажите это.

Докажите, что числа 1, 2, ..., <i>n</i> ни при каком  <i>n</i> > 1  нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.