Олимпиадные задачи из источника «1953 год»

На бесконечной шахматной доске стоит конь. Найти все клетки, куда он может попасть за 2<i>n</i> ходов.

Пусть  <i>x</i>₀ = 10⁹,  <i>x_n</i> = <img width="69" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77993/problem_77993_img_2.gif">.  Доказать, что  0 < <i>x</i>₃₆ – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77993/problem_77993_img_3.gif"> < 10^–9.

Найти корни уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">

Разрезать куб на три равные пирамиды.

Даны уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0   (1)    и – <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>   (2).     Доказать, что если <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂ – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень <i>x</i>₃ уравнения  ½ <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  что либо  <i>x</i>₁ ≤ <i>x</i>₃ ≤ <i>x</i>₂,  либо  <i>x</i>₁ ≥ <i>x</i>₃ ≥ <i>x</i>₂.

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

Решить систему

   <i>x</i>₁ + 2<i>x</i>₂ + 2<i>x</i>₃ + ... + 2<i>x</i>₁₀₀ = 1,

   <i>x</i>₁ + 3<i>x</i>₂ + 4<i>x</i>₃ + ... + 4<i>x</i>₁₀₀ = 2,

   <i>x</i>₁ + 3<i>x</i>₂ + 5<i>x</i>₃ + ... + 6<i>x</i>₁₀₀ = 3,

    ...

   <i>x</i>₁ + 3<i>x</i>₂ + 5<i>x</i>₃ + ....

В плоскости расположено <i>n</i> зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе – с третьим и т.д. Наконец, последнее колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы?

На окружности даны точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определённого места, то полученное 1953-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.

<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>d</i>— длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через<i>S</i>его площадь. Доказать, что<div align="CENTER"> <i>S</i>$\displaystyle \le$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(<i>a</i> + <i>b</i>)(<i>c</i> + <i>d</i> ). </div>

Решить систему

   <i>x</i>₁ + 2<i>x</i>₂ + 2<i>x</i>₃ + 2<i>x</i>₄ + 2<i>x</i>₅ = 1,

   <i>x</i>₁ + 3<i>x</i>₂ + 4<i>x</i>₃ + 4<i>x</i>₄ + 4<i>x</i>₅ = 2,

   <i>x</i>₁ + 3<i>x</i>₂ + 5<i>x</i>₃ + 6<i>x</i>₄ + 6<i>x</i>₅ = 3,

   <i>x</i><sub>1&lt...

Тысяча точек является вершинами выпуклого тысячеугольника, внутри которого расположено ещё пятьсот точек так, что никакие три из пятисот не лежат на одной прямой. Данный тысячеугольник разрезан на треугольники таким образом, что все указанные 1500 точек являются вершинами треугольников и эти треугольники не имеют никаких других вершин. Сколько получится треугольников при таком разрезании?

В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.

Могут ли они вращаться?

Около окружности описан четырёхугольник. Его диагонали пересекаются в центре этой окружности. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Доказать, что наибольший общий делитель суммы двух чисел и их наименьшего общего кратного равен наибольшему общему делителю самих чисел.

Дан прямой круговой конус и точка<i>O</i>. Найти геометрическое место вершин конусов, равных данному, с осями, параллельными оси данного конуса, и содержащих внутри данную точку<i>O</i>.

<i>A</i> – вершина правильного звёздчатого пятиугольника. Ломаная <i>AA'BB'CC'DD'EE'</i> является его внешним контуром. Прямые <i>AB</i> и <i>DE</i> продолжены до пересечения в точке <i>F</i>. Докажите, что многоугольник <i>ABB'CC'DED'</i> равновелик четырёхугольнику <i>AD'EF</i>.

Докажите, что многочлен вида  <i>x</i>²⁰⁰<i>y</i>²⁰⁰ + 1  нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только <i>x</i> и одного только <i>y</i>.

<i>AB</i>и<i>A</i>₁<i>B</i>₁— два скрещивающихся отрезка.<i>O</i>и<i>O</i>₁— соответственно их середины. Докажите, что отрезок<i>OO</i>₁меньше полусуммы отрезков<i>AA</i>₁и<i>BB</i>₁.

Найти геометрическое место точек, координаты которых (<i>x</i>,<i>y</i>) удовлетворяют соотношениюsin(<i>x</i>+<i>y</i>) = 0.

Доказать неравенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$. </div>

Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> число  <i>n</i>² + 8<i>n</i> + 15  не делится на  <i>n</i> + 4.

Разделить отрезок пополам с помощью угольника. (С помощью угольника можно проводить прямые и восстанавливать перпендикуляры, опускать перпендикуляры нельзя.)