Олимпиадные задачи из источника «12 (2014 год)» - сложность 3 с решениями
12 (2014 год)
НазадДан правильный треугольник <i>ABC</i>, площадь которого равна 1, и точка <i>P</i> на его описанной окружности. Прямые <i>AP, BP, CP</i> пересекают соответственно прямые <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A', B', C'</i>. Найдите площадь треугольника <i>A'B'C'</i>.
Медианы <i>AA</i><sub>0</sub>, <i>BB</i><sub>0</sub> и <i>CC</i><sub>0</sub> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>M</i>, а высоты <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> – в точке <i>H</i>. Касательная к описанной окружности треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> в точке <i>C</i><sub>1</sub> пересекает прямую <i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>0</sub> в точке <i>C'</i>...
Биссектрисы <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. Описанные окружности треугольников <i>AIC</i><sub>1</sub> и <i>CIA</i><sub>1</sub> повторно пересекают дуги <i>AC</i> и <i>BC</i> (не содержащие точек <i>B</i> и <i>A</i> соответственно) описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>C</i><sub>2</sub> и <i>A</i><sub>2</sub> соответственно. Докажите, что прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>&l...
Можно ли правильную треугольную призму разрезать на две равные пирамиды?
Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i> взята такая точка <i>M</i>, что угол <i>MAB</i> на 15° больше угла <i>MAC</i>, а угол <i>MCB</i> на 15° больше угла <i>MBC</i>. Найдите угол <i>BMC</i>.
Отрезок <i>AD</i> – диаметр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Через точку <i>H</i> пересечения высот этого треугольника провели прямую, параллельную стороне <i>BC</i>, которая пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно.
Докажите, что периметр треугольника <i>DEF</i> в два раза больше стороны <i>BC</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> серединные перпендикуляры к сторонам <i>AB</i> и <i>BC</i> пересекают сторону <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно, причём точка <i>P</i> лежит на отрезке <i>AQ</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>PBC</i> и <i>QBA</i> пересекаются на биссектрисе угла <i>PBQ</i>.